13.Свойства и виды алгоритмов и соотношение между ними.

 свойства алгоритма, Дискретность. Описываемый с помощью алгоритма процесс должен быть  разбит на последовательность отдельных шагов, т. е. алгоритм должен состоять из отдельных законченных действий.

Определенность (детерминированность). Это свойство означает, что неоднозначность толкования записи алгоритма недопустима, многократное применение алгоритма к одним и тем же исходным данным должно приводить к одним результатам.

Результативность. Алгоритм обязательно должен приводить к определенному результату за конечное число шагов и обеспечивать его выдачу на устройство вывода информации (экран монитора, принтер) или в файл. Для этого в алгоритме должно быть предусмотрено исключение недопустимых ситуаций (деление на ноль, вычисление логарифма нуля или отрицательного числа и т. п.). Если решение задачи не существует, то в качестве результата может быть выведено сообщение об этом.

Последовательность правил, повлекшая за собой процедуру бесконечного выполнения операций, алгоритмом не является.

Массовость. Обычно алгоритмы предназначены для решения не одной конкретной задачи, а некоторого класса задач данного типа. В простейшем случае массовость подразумевает возможность использования различных исходных данных.

Формальность. Эта особенность указывает на то, что любой исполнитель, способный воспринимать и выполнять инструкции алгоритма, действует формально, т. е. отвлекается от содержания поставленной задачи, не вникает в ее смысл, а лишь строго выполняет инструкции.

Эффективность. Это свойство, которое позволяет решить задачу за приемлемое время.

Различают следующие виды алгоритмов:

линейный – список команд (указаний), выполняемых последовательно друг за другом;

разветвляющийся – алгоритм, содержащий хотя бы одну проверку условия, в результате которой обеспечивается переход на один из возможных вариантов решения;

циклический – алгоритм, предусматривающий многократное повторение одной  и  той  же  последовательности  действий.  Количество  повторений  обусловливается исходными данными или условием задачи.

Любая алгоритмическая конструкция может содержать в себе другую конструкцию того же или иного вида, т. е. алгоритмические конструкции могут быть вложенными.

14.Интерпретации и модели.

15.Семантическая и формальная непротиворечивость.

Семантическая адекватность (непротиворечивость и полнота) теории

T относительно семантики M означает, что множество доказуемых в T формул равно

множеству формул, общезначимых в M (T=M).

семантическая непротиворечивость: теория семантически непротиворечива, если всякая ее теорема является всегда истинной.

То есть первое – когда утверждения не противоречат одно другому; второе – не противоречат истине. К б) естественнонаучная теория стремится, но противоречия в смысле а) недопустимы.

Если среди первоначальных имеются утверждения, противоречащие друг другу, то это разрушает теорию как систему. Закономерно связать противоречивые утверждения невозможно. Согласно логическому закону непротиворечивости оба противоречивых утверждения одновременно не могут быть истинными, значит, хотя бы одно из них ложно.

Для того, чтобы аксиоматическая система стала действительно системой, первоначальные утверждения должны быть между собой связаны. В качестве способов связи утверждений между собой логика предлагает нам конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, эквивалентность. Не все из них годятся для объединения утверждений именно в аксиоматическую систему. Так, дизъюнкция не подходит для этой цели из-за того, что заставляет нас выбирать какое-либо одно из связанных дизъюнкцией утверждений, говоря: либо А, либо В. Но поскольку нам необходимо сохранить обе наши аксиомы, от дизъюнкции мы вынуждены отказаться.

16) Исчисление высказываний – это аксиоматическая логическая система, интерпретацией которой является алгебра высказываний.

Вторая проблема – непротиворечивость  исчисления высказываний. Формальную аксиоматическую теорию называют непротиворечивой, если не существует формулы  А такой, что в исчислении одновременно выводимы и А и .

Теорема. Исчисление высказываний непротиворечиво.

Доказательство. Пусть А – любая формула исчисления высказываний. Если А доказуема, то по теореме 1 § 6 она тождественно истинна, и, значит,  - тождественно ложная формула, а поэтому не доказуема.

17) Теоре́ма Гёделя о полноте́ исчисле́ния предика́тов является одной из фундаментальных теорем математической логики: она устанавливает однозначную связь между логической истинностью высказывания и его выводимостью в логике первого порядка. Впервые эта теорема была доказана Куртом Гёделем в 1929.

Формула является выводимой в исчислении предикатов первого порядка тогда и только тогда, когда она общезначима (истинна в любой интерпретации при любой подстановке).

18) Формальная система - математическая модель, задающая множество дискретных объектов путем описания исходных объектов и правил построения новых объектов из исходных и уже построенных. Под объектами имеются в виду символические и графические представления материальных тел, а также ситуаций, состояний, различных систем связей и информационных структур.

Объекты формальной системы состоят из неделимых элементов различных видов, т.е. можно говорить об этом множестве элементов как об алфавите системы. Число экземпляров элементов каждого вида может быть как конечным, так и бесконечным. Правила построения объектов в формальной системе обычно бывают двух видов: