- •16. Равномерное, показательное, нормальное распределения. Их функции распределения.
- •17. Лемма о нормальном распределении. Критерий независимости дискретной и непрерывной св.
- •18. Случайный вектор. Свойства функций распределения случайного вектора.
- •19. Случайный вектор. Свойства плотности распределения
- •20. Функция двух случайных аргументов. Формула свертки.
- •1. События и операции над ними. Относительные частоты и их свойства
- •2. Аксиомы теории вероятностей. Дискретные пространства элементарных исходов. Классическое определение вероятности.
- •3. Элементы комбинаторики. Основные правила.
- •4. Число выборок, свойства сочетаний, геометрические вероятности.
- •5. Свойства вероятности.
- •6.Условная вероятность.Независимость.
- •7.Формула полной вероятности и Байеса.
- •10.Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
- •9.Теорема Пуассона.
- •8.Схема независимых испытаний Бернулли. Полиномиальное распределение.
- •11. Случайные величины. Функции распределения и их свойства.
- •12. Дискретные случайные величины. Законы распределения биномиальное, геометрическое и Пуассона.
- •13. Мат ожидание дсв и их свойства.
- •14. Дисперсия, свойства. Начальные и центральные моменты.
- •15. Непрерывные случайные величины. Свойства плотности распределения.
- •21. Числовые характеристики 2-х случайных величин.
- •22. Производящие функции и их свойства.
- •23. Характеристические функции и их свойства.
- •Свойство комплекснозначных случайных величин.
- •Свойства характеристических функций.
- •24. Закон больших чисел в форме Чебышева и Бернулли.
- •25. Центральная предельная теорема.
16. Равномерное, показательное, нормальное распределения. Их функции распределения.
Опр. Говорят, что случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [a, b], если она непрерывна и имеет плотность вероятности:
Найдем функцию распределения равномерно распределенной случайной величины X.
а) x≤a ;
б) a<x≤b .
в) x>b .
17. Лемма о нормальном распределении. Критерий независимости дискретной и непрерывной св.
Теорема 1. Если случайная величина Х имеет нормальное стандартное распределение с параметрами (a, ), то случайная величина имеет нормальное распределение, т.е. . ▲ ; .▲
Теорема 2. (Критерий независимости дискретных случайных величин).
Для того чтобы дискретные случайные величины Х1,…,Хn были независимы, необходимо и достаточно, чтобы для любых действительных чисел х1,…,хn выполнялось соотношение .
Теорема 3. (Критерий независимости для непрерывных случайных величин).
Для того чтобы непрерывные случайные величины Х1, Х2,…,Хn были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы для любых действительных чисел х1,…,хn выполнялось соотношение . Где совместимая плотность распределения случайных величин Х1,…,Хn, то есть совместимая функция распределения случайных величин Х1,…,Хn
.
18. Случайный вектор. Свойства функций распределения случайного вектора.
Опр. Вектор , где —случайные величины, называются n-мерным случайным вектором.
Т.о., случайный вектор отображает пространство элементарных исходов Ω→ в n-мерное действительное пространство .
Опр. Функция
называется функцией распределения случайного вектора или совместной функцией распределения случайных величин .
Свойства функции распределения случайного вектора:
.
Функция распределения случайного вектора неубывающая по каждому аргументу. ▲ Пусть x1<y1, тогда событие . Тогда . По свойству вероятности если , то , получим . Т.е. функция не убывает по первому аргументу. Аналогично для любого аргумента. ▲
19. Случайный вектор. Свойства плотности распределения
Опр. Вектор , где —случайные величины, называются n-мерным случайным вектором.
Т.о., случайный вектор отображает пространство элементарных исходов Ω→ в n-мерное действительное пространство .
Опр. Функция
называется функцией распределения случайного вектора или совместной функцией распределения случайных величин .
Опр. Случайный вектор называется дискретным, если все его компоненты—дискретные случайные величины.
Опр. Случайный вектор называется непрерывным, если существует неотрицательная функция , называется плотностью распределения случайных величин такая, что функция распределения .
20. Функция двух случайных аргументов. Формула свертки.
Опр. Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y: .
Случай 1. Пусть Х и Y—дискретные независимые случайные величины. Для того чтобы составить закон распределения функции Z=X+Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности. Иными словами, составляется ряд распределения случайной величины Z.
Рассмотрим общий случай: Пусть Х и Y—независимые случайные величины, принимающие значения . Обозначим через , , . Z=X+Н. Обозначим через
. Таким образом, —формула свертки.