30. Эллипс: каноническое уравнение и геометрические свойства

Канонический вид:

К ривые 2-го порядка описываются общим уравнением вида:

В общем виде это уравнение может определять вырожденные кривые:

Для невырожденных кривых можно найти такую декартовую систему координат, для которой общее уравнение кривых 2-го порядка имеет вид:

Эллипс.

Геометрическое свойство:

Эллипс – множество точек, сумма расстояний которых от двух данных точек называется фокусами, есть величина постоянная.

r₁+r₂=2a

r₁, r₂ – фокальные радиусы.

Ч тобы вывести каноническое уравнение эллипса, выберем систему координат следующим образом.

М – текущая точка на эллипсе

F₁(-c; 0) F₂(c; 0) – 2 фокуса эллипса

с – фокальное расстояние

r₁, r₂ – фокальные радиусы

b²=a²-c²

a , b – полуоси эллипса

Вывод:

Н айдем фокальные радиусы:

r₁= r₂=

Используем геометрическое свойство:

r₁+r₂=2a =2a-

(x+c)²+y²=4a2-4a +(x-c)²+y²

4a =4a²-4xc

a =a²-xc

a²(x-c)²+a²y²=a⁴-2a²xc+x²c²

x²a²-2a²xc+a²c²+a²y²=a⁴-2a²xc+x²c²

x²(a²-c²)+a²y²=a²(a²-c²)

x²b²+a²y²=a²b² | :a²b²

2-е геометрическое свойство эллипса:

, где r – расстояние от эллипса до фокуса. d – расстояние от точки на эллипсе до заданной прямой, которую называют директрисой. Покажем это для эллипса. Сначала докажем следующие формулы:

Вывод:

r²₂=(x-c)²+y²=x²-2xc+c²+b²- =

y²=b²( )

r²₂=a²-2aεx+ε²x²=(a-εx)²

r₂=a-εx

Аналогично r₁=a+εx. отсюда получаем:

r₂=ε( ) x= -- уравнение линии D2, которую называют правой директрисой.

Тогда d₂= -- расстояние от М до правой директрисы.

Итак, доказана теорема о директрисах эллипса.

31. Гипербола: каноническое уравнение и геометрические свойства

Канонический вид:

К ривые 2-го порядка описываются общим уравнением вида:

В общем виде это уравнение может определять вырожденные кривые:

Для невырожденных кривых можно найти такую декартовую систему координат, для которой общее уравнение кривых 2-го порядка имеет вид:

Гипербола:

Геометрическое свойство:

Множество точек, разность которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная,

r1, r2 – фокальные радиусы

Для того, чтобы вывести каноническое уравнение гиперболы, выберем систему координат следующим образом:

F₁(-c; 0)

F₂(c; 0)

c – фокусное расстояние

a²+b²=c²

b²=c²-a²

a, b – полуоси гиперболы

К аноническое уравнение:

Вывод аналогичен выводу для эллипса.

П олагаем по определению:

Каноническое уравнение гиперболы определяет ее вид и вид ее ветвей: правой и левой.

2-е геометрическое свойство:

r – расстояние от точки до фокусного расстояния

d – от точки до директрисы

Вывод аналогичен выводу для эллипса.

С начала докажем свойство для фокальных радиусов:

Для правой ветви

Для левой ветви

Рассмотрим r₂ для правой ветви

-- уравнение правой директрисы D₂

-- расстояние от М до D₂

Доказана теорема о директрисах гиперболы.

Д иагонали прямоугольника L₁ иL₂ называются асимптотами гиперболы.