- •1.Векторное пространство. Пространство арифметических и геометрических векторов
- •2.Линейная зависимость и независимость векторов.Базис
- •3.Скалярное произведение.Длина вектора.Геометрическая интерпритация в случае двух и трех измерений
- •4.Матрицы.Линейные операции над матрицами.Умножение матриц
- •6.Определитель n-ого порядка.Свойства определителей
- •7.Обратная матрица.(Определение,условие существования,обратные матрицы для матриц специального вида)
- •8.Система линейных уравнений.Матричная форма записи систем линейных уравнений.Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
- •9.Равносильность систем линейных уравнений.Расширенная матрица системы.Элементарные преобразования.
- •11.Решение систем линейных алгебраических уравнений с канонической расширенной матрицей.
- •12.Ранг матрицы.Равносильность различных определений.Ранги расширенных матриц для совместных и неопределённых систем.
- •13.Линейный оператор.Собственные вектора и собственные значения линейного оператора.
- •15.Прямая на плоскости.(Различные виды уравнений прямой,угол между прямыми)
- •16.Взаимное расположение прямых и исследование системы двух уравнений с двумя неизвестными
- •17.Плоскость в пространстве(Различные виды уравнений плоскости,угол между плоскостями)
- •18.Прямая в пространстве и ее различные уравнения.Угол между прямыми и между прямой и плоскостью.Точка пересечения прямой и плоскости
- •20.Скалярное произведение в n-мерном пространстве.Определение,свойства,угол между векторами
- •30.Эллипс.Вывод канонического уравнения
- •31Линейный оператор и его матрица. Переход к другому базису
1.Векторное пространство. Пространство арифметических и геометрических векторов
Множ V назыв вект простр над множ R, если там определены операции умножения на число и сложение, и обладающие следующими св-ми:
А)(а(вектора)+в)+с=а+(в+с)-ассоциативность Б)а+0=0+а=а-ненул вект
В) ∃(-а0) –а=(-а1,-а2..-аn)-сущ противопол вект Г)а+в=в+а-коммуникативность Д)а)=(-ассоциативность Е)1*а=а Ж)(+а=а+а-дистрибутивность относительно скаляров З)а+в)=а+в-…векторов
Арифметические вектора.N мерный арифм вект-упорядоченный набор из N вещественных чисел(а=а1,а1..аn)1)умнож вект на число а=(а1,а2..аn) 2)слож вект а+в=(а1+в1…аn+аb)
Геометрические вект.W2-множ.геом.вект.на плоскости.Множ геом вект на плоск и в простр(W2)являются вект пространством
2.Линейная зависимость и независимость векторов.Базис
Пусть R – векторное пространство. Векторы a1,a2,...,an-назыв линейно зависимыми ,если сущ такой ненулевой набор λ1,λ2..λn,что линейная комбинация этих веторов=0
а1,а2..аn-назывется линейно независимой,если для любого ненул набора линейная комбинация не равна 0(еслм можно пдставить коэф не равный0)
Пусть имеется n векторов.
Составим линейную комбинацию:
, если система n векторов – линейно-зависима.
Если среди n векторов какие-то k линейно-зависимы, то вся система векторов
является линейно-зависимой.
Если система n векторов линейно-независима, то любая часть из этих векторов
будет тоже линейно-независимой.
Вектора а1,а2…аn линейно зависимы тогда и только тогда,когда один из этих векторов является линейной комбинацией оставшихся
Базис вект пространства V называется максимальный набор линейно независимых векторов.Число вект в базисе назыв размерностью векторного простр.Теорема: Каждый вектор x векторного пространства можно представить, и притом единственным образом как линейную комбинацию векторов базиса.Д-во: Пусть система n векторов
линейно-независима, а любая система n+1 векторов – линейно-зависима, тогда
число n называют размерностью пространства. dimV=n
Система этих n линейно-независимых векторов называется базисом линейного
пространства. Рассмотрим систему n+1 векторов.
Такое представление называется разложение по базису, а числа
называют координатами вектора.Разложение любого вектора в выбранном базисе - единственно.
3.Скалярное произведение.Длина вектора.Геометрическая интерпритация в случае двух и трех измерений
Скалярное произведение двух ненулевых векторов называется число =произведению длин этих векторов на cos ф угла между ними
Свойства: 1. 2. 3. 4.
Длина вектора:Длиной вектора называется арифметическое значение квадратного корня и скалярного квадрата. |а|=(корень из)а2х+а2у+а2z
4.Матрицы.Линейные операции над матрицами.Умножение матриц
Матрицей А размера m*n называется прямоуг таблица из m строк и n столбцов,сост из чисел или иных математических выраж. аij(назыв эл-ми матрицы)i=1,2..m.j=1,2..n
Матрицы равны между собой, если равны все их соответствующие элементы.Матрица, у которой число строк и столбцов равно – называется квадратной.Матрица, все элементы которой, кроме элементов главной диагонали равны нулю,называется диагональной.Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1,называется единичной. Обозначается буквой Е.
Матрица, у которой все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю,
называется треугольной.Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой.
Линейные операции над матрицами:1)сложение матриц(должны иметь один и тот же размер):а)А+В=В+А(коммутативность)б)(А+В)+С=А+(В+С)(ассоцитивость)в)А+0=А 2)умножение на число:а) 1. αA = Aα ,2. 1⋅ A = A,3. 0⋅ A = О,4. α(β Α) = (α β )Α,5. (α + β )Α =α Α + β Α-дистр относит слож чисел , 6. α (Α + Β) =α Α +α Β-дистр относит слож матриц
3)умножение матриц
Умножение матриц-операция вычисления матрицы С,эл-ты которой равны сумме про-й эл-ов в соотв строке первого множ и столбце второго.Св-ва: ассоциативность,про-е не коммутативно,про-е комм в случ умнож с единичн матрицей,дистрибут закон,(А)В=АВ)=А(В)
1.A(BC) = (AB)C, 2. α (AB) = (α A)B 3. (A + B)C = AC + BC 4. C(A+B) = CA + CB