Методические указания к решению задач 21–30

Для схемы, представленной на рис. 11, найдем потенциалы всех узлов и токи всех ветвей. Исходные данные: J = 1 А, Е = 1 В, R₁ = 1 Ом, R₂ = 2 Ом, R₃ = 4 Ом, R₄ = 5 Ом, R₅ = 8 Ом, R₆ = 10 Ом.

Рис.  11. Схема для проведения статического анализа

Обозначим узлы схемы номерами от 0 до 3 (узлы, находящиеся справа от узлов 2 и 3, мы никак не обозначили, поскольку они имеют такие же потенциалы). Приравняем потенциал одного из узлов схемы (узла 0) к нулю, а для всех оставшихся узлов составим систему уравнений по методу узловых потенциалов:

(15)

где g₁, g₂, g₃, g₄, g₅, g₆ – проводимости ветвей с сопротивлениями R₁, R₂, R₃, R₄, R₅, R₆ соответственно (g = 1/R).

Решаем данную систему уравнений любым из известных способов. Если число неизвестных больше двух, как в данном случае, систему удобнее решать не методом подстановки, а матричным методом (методом Крамера). В матричном виде система уравнений (15) будет выглядеть

Найдем сначала определитель матрицы проводимостей:

С учетом приведенных значений сопротивлений и параметров источников J и E имеем   0,238 См³.

Для определения потенциалов узлов ₁, ₂ и ₃ необходимо предварительно найти определители матриц, полученных из матрицы проводимостей путем подстановки столбца с источниками токов вместо первого, второго и третьего столбцов матрицы соответственно:

Подставив известные значения проводимостей, E и J, получим ₁  0,2 ВСм³, ₂  0,46 ВСм³, ₃  – 0,32 ВСм³. Теперь можно найти потенциалы узлов схемы:

Зная потенциалы узлов схемы, можно определить также и токи ветвей. Обозначим токи, протекающие через резисторы R₁, R₂, R₃, R₄, R₅, R₆, соответственно I_R1, I_R2, I_R3, I_R4, I_R5, I_R6. Тогда, с учетом показанных на рис. 11 направлений токов, их значения можно определить как

Полученное отрицательное значение тока I_R4 означает, что его истинное направление противоположно показанному на рис. 11.

Проверим правильность решения с помощью Первого закона Кирхгофа: для любого узла схемы сумма всех втекающих в него токов должна быть равна сумме вытекающих. Так, например, для узла 2 должно выполняться равенство I_R1 + I_R3 = I_R2. Действительно, 0,16 + 0,27 = 0,43 ≈ ≈ 0,42 А. Небольшая погрешность, связанная с округлениями промежуточных и конечных результатов, вполне допустима.

Аналогично можно удостовериться в выполнимости Первого закона Кирхгофа и для остальных узлов схемы.

Методические указания к решению задач 31–40

Проведем частотный анализ показанной на рис. 12 схемы: получим выражения для амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристик его коэффициента передачи по напряжению k_u. Исходные данные: R₁ = 2 кОм, R₂ = 1 кОм, R₃ = 10 кОм, С = 1 мкФ. Операционный усилитель будем считать идеальным.

Рис.  12. Схема для проведения частотного анализа

При малосигнальном анализе, в том числе и в диапазоне частот, идеальный операционный усилитель (ОУ) обычно представляют как источник напряжения, управляемый напряжением (рис. 13), с бесконечным входным сопротивлением. При этом часто считают выходное сопротивление r_вых равным нулю, а коэффициент передачи дифференциального (разностного) входного напряжения k_д – стремящимся к бесконечности. Вследствие этого, если для схемы с идеальным операционным усилителем записать систему уравнений по методу узловых потенциалов, то в уравнении для узла, к которому подключен выход ОУ, потенциал этого узла будет умножаться на сумму подключенных к нему проводимостей, одна из которых бесконечна. Поэтому при составлении уравнений по методу узловых потенциалов уравнения для узлов, к которым в схеме подключены выходы операционных усилителей, не записываются. Так как при этом число уравнений станет меньше числа неизвестных потенциалов узлов на количество ОУ в схеме, система станет неразрешимой. Поэтому ее дополняют уравнениями вида φ_и = φ_ни, где φ_и, φ_ни – потенциалы инвертирующего и неинвертирующего входов ОУ (это уравнение также вытекает из предположения об идеальности операционного усилителя).

Рис. 13. Схема замещения идеального операционного усилителя

С учетом этих особенностей составим систему уравнений по методу узловых потенциалов для схемы, представленной на рис. 12:

(16)

где pC – изображение емкостной проводимости Y_C = jωC (по Лапласу).

Нам необходимо получить зависимость от частоты коэффициента передачи схемы по напряжению k_u, который определяется как отношение выходного напряжения схемы к входному:

Заменив в системе (16) потенциал φ₁ на равный ему φ₂, получим

Данную систему удобно решить методом подстановки, выразив из второго уравнения φ₂ через e_г и подставив затем это выражение вместо φ₂ в первое уравнение. Тогда

или

.

Отсюда

Произведя замену p на jω, получим зависимость коэффициента передачи по напряжению от комплексной частоты:

(17)

На практике вместо выражения (17) пользуются зависимостями от частоты отдельно модуля и аргумента коэффициента передачи – АЧХ и ФЧХ. Пусть в общем случае схемная функция (в нашем случае это коэффициент передачи по напряжению) представлена в виде

где Re A, Im A – реальная и мнимая части числителя схемной функции; Re B, Im B – реальная и мнимая части знаменателя схемной функции. Тогда модуль схемной функции (АЧХ) будет определяться как

а ее аргумент (ФЧХ) – как

В нашем случае выражением для АЧХ будет

а выражением для ФЧХ –

С учетом приведенных параметров элементов схемы имеем

(18)

Построим качественно АЧХ и ФЧХ для нашего примера (рис. 14). Подставим в выражения (18) частоту ω = 0. При этом модуль коэффициента передачи будет равен 6. Это означает, что на нулевой частоте (на постоянном токе) схема усиливает входное напряжение e_г в 6 раз. Угол фазового сдвига φ на нулевой частоте равен нулю.

Рис.  14. Амплитудно-частотная (а) и фазо-частотная (б) характеристики коэффициента передачи по напряжению схемы на рис. 12

Исследуя выражения (18), можно увидеть, что при ω → ∞ модуль коэффициента передачи стремится к нулю, а фазовый сдвиг – к углу -π/2.

Частота, на которой модуль коэффициента передачи уменьшается в раз от своего максимального значения, т.е. в данном случае равен , называется граничной. Приравняв модуль коэффициента передачи к , получим, что граничная частота в нашем случае ω_гр = 10³ с^-1. Угол фазового сдвига на этой частоте, как видно из выражения (18) для φ, равен -π/4.