119

§21. Функции многих переменных

21.1Понятие функции нескольких переменных

До сих пор мы изучали функции одной независимой переменной. Но нередко встречаются случаи, когда какая-нибудь величина зависит не от одной независимой переменной, а от двух или большего числа независимых переменных, т.е. когда значения первой величины находятся по значениям не одной, а двух или большего числа переменных величин.

Например, площадь S прямоугольника есть функция двух независимо друг от друга изменяющихся переменных – длин сторон прямоугольника a и b :

S = a b .

Объем V прямоугольного параллелепипеда является функцией трех независимо друг от друга изменяющихся величин – длин ребер параллелепипеда a , b , c :

V = a b c .

Работа электрического тока A на участке цепи зависит от разности потенциалов U на концах участка, силы тока I и времени t ; эта функциональная зависимость дается формулой:

A = I U t .

Изучим подобного рода зависимости на примере функции двух переменных.

Определение. Если каждой паре значений двух независимых переменных x и y (x; y) ставится в соответствие одно значение переменной z ,

то говорят, что задана функция двух переменных z = f (x , y) .

Множество всех точек плоскости xOy , координатами которых являются всевозможные значения независимых переменных x и y , называют областью определения D функции f (x; y) . Это будет некоторая двумерная об-

ласть, т.е. часть плоскости.

Множество всех значений переменной z называется областью значе-

ний функции f (x; y) .

Функцию двух переменных можно задать с помощью таблицы, аналитически, с помощью графика.

1) С помощью таблицы (табл. 3.2):

При вычислении частной производной функции z = f (x; y) по переменной x переменная y считается постоянной величиной; по переменной y

– x считается постоянной, следовательно, в момент вычисления частной производной от функции z = f (x; y) по переменной x функция z = f (x; y) рас-

сматривается как функция одной переменной f (x; y0 ) ; для y – то же самое,

следовательно, все свойства и теоремы, справедливые для производной функции одной переменной, сохраняются и для частных производных.

некоторой ее окрестности, называется дифференцируемой в точке (x0 ; y0 ) , если справедливо представление:

Функция называется дифференцируемой в двумерной области D , если она дифференцируема в каждой точке этой области.

Полным дифференциалом функции двух переменных называется глав-

ная часть разложения полного приращения этой функции относительно при-

123

Таким образом, полный дифференциал функции двух переменных f (x; y) в точке (x0 ; y0 ) вычисляется по формуле:

df = ддfx ( x0 ; y0 ) dx + ддfy ( x0 ; y0 ) dy .

Теорема. Пусть функция двух переменных z = f (x; y) определена в точке P(x; y) и некоторой ее окрестности и имеет частные производные ддfx ,

ддfy , которые тоже определены в точке P(x; y) и непрерывны в этой точке.

Тогда функция z = f (x; y) дифференцируема в точке P(x; y) .

Доказательство. Рассмотрим полное приращение функции z = f (x; y) :

Выражение в первой скобке является приращением функции f (x; y) при постоянном втором аргументе ( y + y) , когда x получает приращение x . Рас-

сматривая это приращение функции одного аргумента x , применим формулу Лагранжа. Будем иметь:

Применяя формулу Лагранжа как к приращению функции одного аргумента y , получим:

f (x; y + y) − f (x; y) = f y′(x; c2 ) y , где y ≤ c2 ≤ y + y .

Таким образом, полное приращение

z = fx′(c1 ; y + y) x + f y′(x; c2 ) y .

По условию, fx′(x; y) и f y′(x; y) непрерывны в точке P(x; y) . Пусть x → 0 и y → 0 , тогда c1 → x , c2 → y . Следовательно, можно положить:

Таким образом, функция z = f (x; y) дифференцируема в точке P(x; y) .