Содержание
Предисловие 4
1 Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной 5
1.1 Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним 5
1.2 Однородные уравнения и приводящиеся к ним 12
1.3 Линейные уравнения 1-го порядка. Уравнения Бернулли 20
1.4 Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель 27
1.5 Дифференциальные уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной 43
2 Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 56
3 Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка 71
3.1 Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами 71
3.2 Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 82
3.3 Уравнения Эйлера 94
4 Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 99
5 Линейные и квазилинейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка 123
1 Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной
1.1 Уравнения с разделяющимися
переменными и приводящиеся к ним
Дифференциальное уравнение
(1.1)
где коэффициент при зависит только от , а коэффициент при - только от , называется уравнением с разделенными переменными.
Общим интегралом такого уравнения в предположении, что обе функции и непрерывны, будет
(1.2)
или
(1.3)
Особых решений нет.
Дифференциальное уравнение
(1.4)
называется уравнением с разделяющимися переменными. Умножая обе части уравнения (1.4) на , получаем уравнение с разделенными переменными:
(1.5)
Общим интегралом этого уравнения, а следовательно, и уравнения (1.4) будет в предположении, что все функции непрерывны,
(1.6)
или
(1.7)
Замечание Деление на может привести к потере частных решений, обращающих в нуль произведение . Эти решения, и только они, могут оказаться особыми.
Дифференциальное уравнение вида
(1.8)
где - постоянные, заменой переменных
(1.9)
преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.
Пример Найти общий интеграл уравнения
Решение. Разделяем в уравнении переменные и интегрируем:
Далее из уравнения находим решения уравнения: . Первое из этих решений частное, второе - особое.
Задание 1.1 Проинтегрировать уравнение.
1
Ответ:
2
Ответ:
3
Ответ:
4
Ответ:
5
Ответ:
6
Ответ:
7
Ответ:
8
Ответ:
9
Ответ:
10
Ответ:
11
Ответ:
12
Ответ:
13
Ответ:
14
Ответ:
15
Ответ:
16
Ответ:
17
Ответ:
18
Ответ:
19
Ответ:
20
Ответ:
21
Ответ:
22
Ответ:
23
Ответ:
24
Ответ:
25
Ответ:
26
Ответ:
27 (подстановка ).
Ответ:
28
Ответ:
29
Ответ:
30
(подстановка ).
Ответ: