Лекция№2 Тема: Соответствия, отображение множеств.
План:
1.Соответствия между множествами
2. Композиция двух соответствий
Отображения и функции
1. Соответствия между множествами
Если элементы множества А некоторым образом сопоставляются элементам множества В, образуя при этом упорядоченные пары связанных элементов, то говорят, что между множествами А и В установлено соответствие, а правило, по которому образуются такие пары, называют законом или графиком соответствия. Или более строго: соответствием между множествами А и В называется тройка множеств Г =(G, A, B), где G AB = {(x,y): xA, yB} – график соответствия Г или закон соответствия. Множество А – называется областью отправления, а В – областью прибытия соответствия Г.
Если (x,y) G, то говорят, что элемент y соответствует элементу x при Г или y является образом x относительно G, и обозначают y=G(x); а x называют прообразом y относительно G. Множество всех образов элементов xA называют образом множества А в множестве В и обозначают Г(А)={yB: xA и (x,y)G}. Множество всех прообразов элементов yB называют прообразом множества В в множестве А и обозначают Г-1(В)={xA: yB и (x,y)G}.
Для всех x из прА G={xA: yB и (x,y)G } A говорят, что соответствие Г определено для x, и множество прА G ⇋ пр1 G называют областью определения Г. Для всех y из прВ G={yB: xA и (x,y)G} B, говорят, что y является значением, принимаемым соответствием Г, и множество прВ G ⇋ пр2 G называют областью значений Г.
Если пр1 G = А, то соответствие называют всюду определённым.
Если соответствие всюду определено и при этом пр2 G = B, то имеет смысл понятие обратного соответствия и обратного графика.
График G-1, элементами которого являются пары (y,x) такие, что (x,y)G называется обратным к G, т.о. G-1 = {(y,x): (x,y) G}. Обратным соответствием к соответствию Г называется Г‑1 = (G‑1, B, A).
Понятно, что область определения соответствия Г совпадает с областью значений Г‑1, а область значений Г совпадает с областью определения Г‑1, поскольку пр1 G-1 B и пр2 G-1 A.
Если Г-1 = Г, то соответствие называется симметричным. При этом выполняется равенство: (Г‑1)‑1 = Г.
Пример:
Пусть А={Иван, Жанн, Билл}, В={рус., англ., фр.} и G={(Иван, рус.); (Иван, англ.); (Жанн, фр.); (Жанн, англ.); (Билл, англ.)}. Тогда тройка Г=(G, А, В) задает соответствие между множествами А и В с графиком G (или по закону G). Пусть Х={Иван, Билл}, тогда образом множества Х будет G(X)={рус., англ.}. Если Y={рус., фр.}, то прообразом Y будет множество G‑1(Y)={Иван, Жанн}. Данное соответствие определено для всех элементов множества А, т.е. область определения пр1 G = А. Любой элемент множества В является значением соответствия Г, т.е. область значений пр2 G = B. Обратным соответствием будет соответствие Г‑1 = (G‑1, B, A), где G‑1 ={(рус., Иван); (англ., Иван); (фр., Жанн); (англ., Жанн); (англ., Билл)}. Поскольку Г-1 Г, соответствие не является симметричным.
2.Композиция двух соответствий
Пусть Г=(G, А, В) и S=(R, B, C) – соответствия.
Композицией графиков R и G называется график R∘G={(x,z): yB и (x,y)G и (y,z)R}. При этом область значений графика G является областью определения графика R, т.е. пр2 G = пр1 R. Композицией соответствий S и Г называется соответствие S∘Г=(R∘G, А, С).
При этом область прибытия Г является областью отправления S. Иными словами, под композицией понимают последовательное применение двух соответствий: сначала соответствия Г к элементам множества А, а затем соответствия S к значениям Г.
Свойства композиции.
Следующие свойства справедливы как для композиции графиков, так и для композиции соответствий с этими графиками. Пусть Г=(G, А, В), S=(R, B, C) и Р=(Т, D, A) – соответствия.
1) (R∘G)-1= G‑1∘R‑1
Доказательство: рассмотрим произвольную пару (z,x)(R∘G)-1. Тогда по определению обратного графика (x,z)R∘G, и по определению композиции yB и (x,y)G и (y,z)R. Отсюда по определению обратного графика yB и (y,x)G‑1 и (z,y)R‑1 или, что то же самое: yB и (z,y)R‑1 и (y,x)G‑1. Отсюда по определению композиции следует (z,x)G‑1∘R‑1. Аналогично можно показать, что любая пара (z,x) из G‑1∘R‑1 принадлежит также и (R∘G)-1. Отсюда следует: (R∘G)-1= G‑1∘R‑1 .
2) (R∘G) ∘T = R∘ (G∘T)
Доказательство: рассмотрим произвольную пару (x,z)(R∘G) ∘T. Тогда по определению композиции yA и (x,y)T и (y,z)(R∘G), отсюда yA и (x,y)T и tB и (y,t)G и (t,z)R . Последнее равносильно тому, что tB и (yA и (x,y)T и (y,t)G ) и (t,z)R, поэтому tB и (x,t)(G∘T) и (t,z)R, следовательно, (x,z)R∘(G∘T). Аналогично можно показать, что для любой пары (x,z)R∘(G∘T) выполняется также: (x,z)(R∘G) ∘T.
3) (R∘G)(A) = R(G(A))
Доказательство: рассмотрим произвольный элемент z(R∘G)(A), т.е. z является образом некоторого элемента хA или, что то же самое, xA и z=(R∘G)(x) или (x,z)(R∘G). Поэтому xA и yB и (x,y)G и (y,z)R (по определению композиции). Таким образом, z=R(y) и y=G(x) и, следовательно, xA и z=R(G(x)) или zR(G(A)). Далее для завершения доказательства все рассуждения проводим в обратном порядке.
График вида А={(x,x): xA} называется диагональю АА.
Очевидно, пр1А=пр2А=А. Соответствие А=(А, А, А) называется тождественным соответствием для А. Очевидно, А-1=А, и Г∘А = В∘Г = Г, где В=(В, В, В) и Г=(G, A, B).
Пример:
Даны множества А={Иван, Жанн, Билл}, В={рус, англ, фр} и C={0, 1, 2}. И графики G={(Иван, рус); (Иван, англ); (Жанн, фр); (Жанн, англ); (Билл, англ)} и R={(рус, 0); (англ, 1); (фр, 2)} соответствий Г=(G, А, В) и S=(R, B, C). Тогда композицией соответствий S и Г будет соответствие S∘Г=(R∘G, А, С) между множествами А и С с графиком R∘G={(Иван, 0); (Иван, 2); (Жанн, 1); (Жанн, 2); (Билл, 2)}