1.вектор — это элемент векторного пространства (или иначе: линейного пространства). геометрический объект, характеризуемый направлением ( т.е. заданной с точностью до параллельности прямой и направлением на ней) и длиной. Векторы можно складывать и умножать на число. Вектор также можно представить в виде линейной комбинации других векторов.
Модулем (длиной) вектора называется длина соответствующего направленногоотрезка AB и обозначается как/АВ/
Дваненулевых вектора называются коллинеа́рными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Допусти́м, но не рекомендуется, синоним — «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными» или «антипараллельными»).
Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости.Необходимым и достаточным условием компланарности 3-х векторов.есть условие abc=0
Понятие вектор в геометрии отлично от определяемого в алгебре. Различают понятие свободного и связанного (приложенного, закреплённого) вектора.
Связанный вектор или направленный отрезок — упорядоченная пара точек евклидова пространства.
Свободный вектор — класс эквивалентности направленных отрезков.При этом два направленных отрезка считаются эквивалентными, если они:
коллинеарны
равны по длине
одинаково направлены (сонаправлены)
Существует естественный изоморфизм свободных векторов и параллельных переносов пространства (каждый перенос взаимно однозначно соответствует какому-то свободному вектору). На этом также строят геометрическое определение свободного вектора, просто отождествляя его с соответственным переносом.
Большую роль играют векторы в изучении бесконечно малых трансформаций пространства.
2.Действия над векторами
Сумма. Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и bслужат сторонами параллелограмма, а вектор c -- его диагональю
Приизведение.Произведением вектора a на вещественное число называется вектор b, определяемый условием
1) и, если , то еще двумя условиями:
2) вектор b коллинеарен вектору a;
3) векторы b и a направлены одинаково, если , и противоположно, если . Разность. Разностью векторов a и b называется сумма . Разность обозначается а-в, то есть а-в=а+(-в)
Правило параллелограмма
Сложение векторных величин производится по правилу параллелограмма: сумма двух векторов и , приведенных к общему началу, есть третий вектор , длина которого равна длине параллелограмма, построенного на векторах и , а направлен он от точки A к точке B
Правило многоугольника
Правило многоугольника применяется, если нужно найти сумму трех или большего числа векторов. Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. От произвольной точки О отложен вектор затем от точки А отложен вектор и, наконец, от точки В отложен вектор В результате получается вектор
3.Координаты вектора
Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.
где — координаты вектора
Свойства
Равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты
Координаты коллинеарных векторов пропорциональны:
Подразумевается, что координаты вектора b не равны нулю.
Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат:
При умножении вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число:
При сложении векторов соответствующие координаты векторов складываются:
Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат:
Векторное произведение двух векторов можно вычислить с помощью определителя матрицы
где
Аналогично, смешанное произведение трех векторов можно найти через определитель
4.Скалярное произведение. Угол между векторами
Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.
Угол между векторами
5.Условие параллельности и перпендикулярности векторов
Условия параллельности
КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ
- векторы, параллельные одной плоскости. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов
является равенство:
Условия перпендикулярности
Векторы перпендикулярны при к1= -1/к2
6.Уравнение прямой на плоскости Уравнение прямой с угловым коэффициентом
у = kx + b
Уравнение прямой в отрезках
Общее уравнение прямой
Уравнение прямой с данным вектором нормали
и проходящей через данную точку
Уравнение с данным направляющим вектором и проходящей через данную точку
7. Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:
2
где — радиус-вектор некоторой фиксированной точки M0, лежащей на прямой, — ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой, — радиус-вектор произвольной точки прямой.
Параметрическое уравнение прямой в пространстве:
где — координаты некоторой фиксированной точки M0, лежащей на прямой; — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Каноническое уравнение прямой в пространстве:
где — координаты некоторой фиксированной точки M0, лежащей на прямой; — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Общее векторное уравнение прямой в пространстве:
Поскольку прямая является пересечением двух различных непараллельных плоскостей, заданных соответственно общими уравнениями:
и
то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:
8. Прямые линии в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися.