6). Теорема о существовании корня непрерывной функции.

Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, то на этом отрезке существует по крайней мере один корень уравнения.

7). 1-ая теорема Вейерштрасса для непрерывных функций.

8). 2-ая теорема Вейерштрасса для непрерывных функций.

9). Теорема Кантора.

10). Теорема о производной композиции функций.

11). Теорема о производной обратной функции.

12). Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции (теорема Ферма).

Теорема:для любого натурального числа n>2 уравнение

xn + yn = zn не имеет реш-ий в целых ненулевых числ. x,y, z. Доказательство:

В прямоугольном треугольнике, имеющем стороны x, y, z1 (рис.1), выполняется равенство z12 = x2 + y2. При показателе степени n>2 z1n = (x2 + y2)n/2 > xn + yn (2) Очевидно, что в формуле zn = xn + yn (3)

z > y ≥ x или z > x ≥ y.

Таким образом, можно констатировать, что равенству

zn = xn + yn при n>2 соответствует фигура, назовём её "разомкнутый прямоугольный треугольник", со сторонами x, y, z, у которого сторона z < z1 (4)

Гипотенуза разомкнутого прямоугольного треугольника не примыкает к катету. У разомкнутого прямоугольного треугольника z2 < x2 + y2 (5)

Условиям (3) и (5) удовлетворяет также остроугольный треугольник, имеющий стороны x, y, z и противолежащий стороне z угол z, причём π/3 < z < π/2 (6)

Этот треугольник можно получить путём смыкания сторон разомкнутого прямоугольного треугольника.

Решение полученного остроугольного треугольника относительно стороны z , z2 = x2 + y2 – 2xycos z (7) Отсюда алгебраическим преобразованием получаем

zn = (x2 + y2 – 2xycos z)n/2 (8)

В результате можно записать

zn = xn + yn = (x2 + y2 – 2xycos z)n/2 (9)

Великая теорема Ферма в интерпретации количественного соотношения числа единичных объектов имеет тождество в геометрической интерпретации соотношения длины сторон треугольника.

Треугольник, согласно (5), можно преобразовать в прямоугольный треугольник со сторонами zn, xn и yn умножением длины каждой из сторон на коэффициенты zn-1, xn-1 и yn-1 соответственно . Его решение будет иметь вид

z2n = x2n + y2n (10)

Если стороны этого треугольника уменьшить до величин zn/2, xn/2 и yn/2 , то по обратной аналогии с (2) получим разомкнутый прямоугольный треугольник, в решении которого

zn < xn + yn (11)

Но это значение zn нами уже получено алгебраическим преобразованием, (9).

Великая теорема Ферма опровергнута, если одновременно выполняются условия (9) и (11), то есть

zn < xn + yn = (x2 + y2 – 2xycos z)n/2 (12)

Очевидно, что (12) противоречит (9). Условие опровержения Великой теоремы Ферма не выполнено, следовательно, эта теорема верна.

13). Теорема Лагранжа о конечных приращениях.

14). Правило Лопиталя.

15). Теорема о представлении функции локальной формулой Тейлора.

16). Достаточное условие экстремума в терминах 1-ой производной.

17). Условие выпуклости функции через 2-ую производную.

18). Теорема о существовании наклонных асимптот.

Теорема 13 (существование асимптот). Для того чтобы график функции y = f(x) имел при x® +Ґ асимптоту y = kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

limx® +Ґf(x)/x = k, limx® +Ґ(f(x)-kx) = b.

Доказательство.

Необходимость. Пусть график функции y = f(x) имеет при x® +Ґ асимптоту y = kx+b, то есть для f(x) имеет вид

f(x) = kx+b+a(x),

тогда

limx® +Ґf(x)/x = (kx+b+a(x))/x = k,

limx® +Ґ(f(x)-kx) = limx® +Ґ(b+a(x)) = b.

Достаточность. Пусть существуют пределы, фигурирующие в условии теоремы. Тогда величина f(x)-kx-b является бесконечно малой при x® +Ґ. Обозначив f(x)-kx-b = a(x) получим, что f(x) имеет асимптоту согласно определению наклонной асимптоты.