- •Вопрос №1 Вектор . Линейные операции над веторами.
- •Имеет бесконечно много решений, которые определяют прямую пересечения плоскостей, заданных уравнениями (4.23).
- •Вопрос №16. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Точка пересечения прямой и плоскости.
- •Теорема о замене функции на эквивалентную под знаком предела
- •Вопрос №31 Непрерывность функции в точке.
- •Вопрос №32 Определение точек разрыва и их классифифкация.
- •Вопрос №33 Свойства функций, непрерывных в точке
Вопрос №1 Вектор . Линейные операции над веторами.
Вектор – это направленный отрезок, т.е. отрезок с указание точек начала и конца. Вектор обозначается AB или а . Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, и умножение вектора на число. По правилу многоугольника(«треугольник» для большего кол-ва чем два вектора):
Начало каждого следующего вектора совмещаю с концом предыдущего. Суммой этих векторов, будет вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего вектора.
При умножении С и А сонаправлены, если число на которое умножаем больше нуля.
С и А противоположно направлены , если число меньше нуля.
Если С равен нулю, то число равно нулю. Разность векторов – это сумма вектора А и вектора, противоположному вектору В, т.е. А-В=А+(-В).
Вопрос №2 Линейно зависимая и линейно независимая с-ма координат.
Векторы Е1 Е2 Еn называются линейно зависимыми, если существуют числа L1 L2 Ln, не равные нулю, такие, что
E1*L1+E2*L2+….+En*Ln
Если это соотношение возможно только при числах равных нулю, то векторы называются линейно зависимыми. Два вектора линейно независимы, тогда и только тогда, когда они неколлинеарны.
Вопрос №3 Проекция вектора на ось.
Проекцией вектора АВ на ось L называется число ПрLАВ, равно +- |A1В1|, где А1, В1 – проекции точек А, В соответственно; знак «+» берётся, если направление A1В1 совпадает с направлением оси, знак «-» берётся, если эти направления противоположны.
Св-во 1:
Если векторы равны, то равны и их проекции
Св-во 2:
ПрLА=|А|*cos(a), где а – угол между вектором а и осью L.
Вопрос №4
Базис в пространстве — любые три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке.
Ортонормированный базис – это базис, состоящий из перпендикулярных друг другу векторов, длина которых равна 1.
Прямоугольная декартова система координат на плоскости определяется точкой О(началом координат) и ортонормированным базисом I,j. Прямые, проходящие через начало координат в направление базисных векторов называются координатными осями(соответственно ОХ –ось абцисс, OY – ось ординат).
Любой вектор можно разложить по базису А=[число]*i+[число]*j.
Например, если у вектора А первая координата 2, а вторая 3, то можно записать:
А=2i+3j или А=(2,3).
Вопрос №5
Коллинеарность векторов. Векторы коллинеарны тогда, когда их координаты пропорциональны.
Вопрос №6
Длина вектора- это его модуль, модуль равен корню из суммы квадратов координат.
Направление вектора А удобно задавать с помощью углов альфа, бета, гамма, которые образуют вектор с осями OX,OY,OZ соответственно. Косинусы этих углов называют направляющими косинусами вектора А. По свойству проекций имеем:
Сos(вставить название угла)=соответствующая координата(x,y,z) / модуль самого вектора.
Пусть A и B - две точки координатной плоскости. Их координаты соответственно (x1 ; y1 ) и (x2 ; y2 ). Тогда координаты вектора таковы: (x2 - x1 ; y2 - y1 ). Они получаются вычитанием из координат конца вектора координат его начала .
Понятно, что в какой бы точке плоскости мы ни поместили начало вектора, его координаты будут одними и теми же.
Вопрос №7
Скалярное произведение – это число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Вектор а*b=|a|*|b|*cos (a,b);
Свойства скалярного произведения.
Если векторы а и b (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a ^b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а¹ 0 ¹b, то а ^ b.
Вопрос №8 Векторное произведение
Векторное произведение – это вектор, обозначается так [А]x[В] такой, что равен произведению модулей соответствующих векторов(А,В) на синус угла q, где q наименьший из углов между векторами.
Свойства: вектор [А]x[В] перпендикулярен к А и В.
Вектор [А]x[В] направлен так, что кратчайший поворот от А к В виден с его конца как поворот против часовой стрелки, то есть векторы А и В + А x В образуют правую тройку.
Модуль векторного произведения равен площади параллограмма, построенного на этих векторах.
Вопрос № 9
Сме́шанное произведе́ние векторов — скалярное произведение вектора а на векторное произведение векторов и :
Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что
Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и :
Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и , взятому со знаком "минус":
р
В частности,
Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами и ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
Вопрос №10 Общее уравнение прямой на плоскости Ах+By+C=0
Если А=0 ,то прямая параллельна оси Ох.
Если В=0 , то пряма парраллельна оси Оу.
С=0 , то прямая проходит через начало координат.
А,В- Координаты нормального вектора(n) и он перпендикулярен.
С является просто координатой.
Расстояние точки A(x1, y1) до прямой Ax + By + C = 0 есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Она определяется по формуле
Вопрос№11 Каноническое уравнение прямой на плоскости.
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки М0(x0, y0) и М1(x1, y1), имеет вид
Это следует из того, что вектор является направляющим вектором прямой.
Вопрос №12. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Вопрос №13. Общее уравнение плоскости. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
Плоскостью называеться поверхность все точки которой удовлетворяют общему уравнению. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0
где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости.
Взаимное расположение плоскостей:
Параллельные плоскости
Получим условия параллельности или совпадения двух плоскостей и заданных общими уравнениями:
( 4.23)
Необходимым и достаточным условием параллельности или совпадения плоскостей (4.23) является условие коллинеарности их нормалей Следовательно, если плоскости (4.23) параллельны или совпадают, то т.е. существует такое число что
и наоборот.
Таким образом, плоскости (4.23) параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты при неизвестных в их уравнениях пропорциональны, т.е. существует такое число что но Плоскости (4.23) совпадают тогда и только тогда, когда все соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны:
Пересекающиеся плоскости
Необходимым и достаточным условием пересечения двух плоскостей (4.22) является условие неколлинеарности их нормалей, или, что то же самое, условие непропорциональности коэффициентов при неизвестных:
(4.25)
При этом условии система уравнений