- •1. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •2. Матрицы. Равенство матриц. Операции над матрицами: транспонирование, сложение, умножение на число, произведение матриц
- •3. Определители 2-ого и 3-его порядков: их определения и свойства
- •4. Обратная матрица: определение, необходимое и достаточное условие ее существования. Нахождение обратной матрицы для квадратных матриц второго и третьего порядков
- •5. Правило Крамера для решения систем линейных уравнений
- •6. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •7. Определение свободного вектора
- •8. Сложение векторов и умножение их на число
- •9. Базис пространства векторов. Координаты вектора в базисе
- •10. Скалярное произведение и его свойства
- •11. Ортонормированный базис. Скалярное произведение в ортонормированном базисе. Длина вектора, угол между векторами.
- •12. Прямоугольная система координат в пространстве и на плоскости. Расстояние между двумя точками
- •13. Различные формы уравнения прямой на плоскости
- •14. Взаимное расположение двух прямых. Нахождение точки пересечения, угла между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •15. Вывод канонического уравнения окружности
- •16. Эллипс: определение, каноническое уравнение, свойства
- •17. Гипербола: определение, каноническое уравнение, свойства
- •18. Парабола: определение, каноническое уравнение, свойства
- •19. Плоскость
- •20. Вывод канонического уравнения сферы. Шар. Эллипсоид
- •21. Определение линейного пространства строк
- •22. Линейная независимость и линейная зависимость векторов: определения, примеры
- •23. Базис линейного пространства, его свойства. Координаты вектора в базисе
- •24. Ранг матрицы и методы его нахождения
- •25. Евклидово пространство. Скалярное произведение и его свойства
- •26. Ортонормированный базис
- •27. Определения отображения и линейного преобразования. Примеры
- •28. Матрица линейного преобразования
- •29. Собственные векторы матрицы: определение, метод нахождения
1. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Общий вид системы линейного уравнения из 3-х уравнений с 3 неизвестными:
(*)
, , называются переменными, , , - коэффициентами, - свободными членами.
Для решения такой системы уравнений можно использовать, например, метод Гаусса.
Метод Гаусса
Рассмотрим (*). Пусть . Тогда исключим из уравнений (2) и (3). Для этого:
вычтем из строки (2) строку (1), помноженную на ;
вычтем из строки (3) строку (1), помноженную на .
Получим систему вида:
(**)
Рассмотрим (**). Пусть . Тогда исключим из уравнения (3). Для этого вычтем из строки (3) строку (2), помноженную на .
Получим один из четырех видов системы:
1.
Пусть . Получаем решение:
; ; .
2.
Система имеет бесконечное множество решений. Главные неизвестные: , , свободные - .
Присваиваем свободной переменной любое постоянное значение: . Тогда
; .
3.
Система имеет бесконечное множество решений. Главные неизвестные: , , свободные - .
Присваиваем свободной переменной любое постоянное значение: . Пусть . Тогда
; .
4.
Система имеет бесконечное множество решений. Главные неизвестные: , свободные - , .
Присваиваем свободным переменным любые различные постоянные значения: , . Тогда
.
[_]
2. Матрицы. Равенство матриц. Операции над матрицами: транспонирование, сложение, умножение на число, произведение матриц
Матрица размером ( - строки, - столбцы) – это таблица
,
Сокращенно
Равенство матриц
Пусть , . Тогда , и . То есть матрицы равны, когда число строк, столбцов и каждый элемент одной матрицы равен числу строк, столбцов и каждому элементу другой матрицы соответственно.
Транспонирование матриц
Транспонирование матрицы
это переход к матрице
Пример
Свойство транспонирования:
Сложение матриц
Пусть даны две матрицы
;
Тогда их суммой называется матрица
То есть .
Умножение на число
Пусть дана матрица
Произведением матрицы на число является матрица
То есть .
Умножение матриц
Пусть даны матрицы и (т.е. число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы). Тогда произведением этих матриц называется матрица , где
,
т.е. произведение -ой строки матрицы на -ый столбец матрицы .
[_]
3. Определители 2-ого и 3-его порядков: их определения и свойства
Пусть дана квадратная матрица порядка .
: .
: .
:
Свойства
При перестановке двух строк местами меняется только знак определителя (на противоположный).
При прибавлении к строке другой строки, помноженной на произвольное число, определитель не меняется.
Следствие:
Определитель матрицы, содержащей строку, состоящую из нулей, равен 0.
Следствие: Определитель с двумя равными или пропорциональными строками равен 0, так как с помощью элементарных преобразований можно получить нулевую строку.
Определитель произведения матриц:
[_]