- •Лекція №1.Означення диференціального рівняння і розв’язку. Задача Коші. Теорема існування та єдиності розв’язку задачі Коші
- •1.Означення диференціального рівняння і розв’язку.
- •2.Геометрична інтерпретація, диференціального рівняння першого порядку.
- •3. Загальні рішення диференціального рівняння. Задача Коші.
- •Лекція №2. Рівняння з розділеними змінними. Однорідні рівняння
- •1. Рівняння з розділеними змінними.
- •2. Рівняння, що приводяться до рівнянь із розділеними змінними.
- •3.Однорідні рівняння
- •4. Рівняння, що приводяться до однорідних рівнянь.
- •Практичне заняття №1. Рівняння з розділеними змінними
- •Практичне заняття №2. Однорідні рівняння
- •Лекція №3. Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі та Рікатті-Буля
- •1. Лінійні рівняння першого порядку.
- •2. Рівняння Бернуллі.
- •3. Рівняння Рікатті – Буля.
- •4.Рівняння в повних диференціалах.
- •Практичне заняття №3.Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі
- •Лекція №4.Особливі точки. Особливі рішення. Рівняння Клеро
- •Особливі точки. Особливі рішення.
- •2. Огибаюча сімейства кривих. Рівняння Клеро.
- •Практичне заняття №4. Рівняння Клеро
- •Лекція №5. Системи диференціальних рівнянь першого порядку. Теорема існування та єдиності розв’язку задачі Коші. Рівняння п-го порядку
- •1. Системи диференціальних рівнянь. Теорема існування та єдиності.
- •2. Рівняння n-го порядку.
- •3. Загальні способи зниження порядку рівняння
- •Практичне заняття №5. Рівняння п-го порядка. Способи зниження порядка
- •Лекція №6. Лінійні рівняння n-го порядку. Системи лінійно незалежних функцій
- •1. Лінійні та однорідні рівняння n-го порядку.
- •2. Системи лінійно незалежних функцій.
- •Лекція №7. Формула Остроградського – Ліувілля. Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами
- •1. Формула Остроградського – Ліувілля та її застосування для розв’язку рівняння другого порядка.
- •Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами.
- •Практичне заняття №6. Лінійне однорідне рівняння. Формула Остроградського – Ліувілля. Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами
- •Лекція №8. Лінійні неоднорідні рівняння n - го порядку. Застосування рівнянь у теорії коливань. Резонанс
- •1. Загальний вигляд рішення лінійного неоднорідного рівняння.
- •2. Метод невизначених коефіцієнтів.
- •3. Знаходження рішення неоднорідного лінійного рівняння з постійними коефіцієнтами для спеціальної правої частини.
- •4.Застосування рівнянь у теорії коливань. Резонанс.
- •Практичне заняття №7. Неоднорідні лінійні рівняння
- •Лекція №9. Системи п звичайних диференційних рівнянь. Лінійні рівняння з частинними похідними першого порядку
- •1. Системи звичайних диференційних рівнянь
- •2. Лінійні рівняння з частинними похідними.
- •3.Загальний випадок лінійного рівняння.
- •Практичне заняття №8. Система диференційних рівнянь. Диференційні рівняння у частинних похідних першого порядку
- •2. Рівняння у частинних похідних першого порядку. Означення. Розв’язок.
- •Лекція №10. Класифікація рівнянь у частинних похідних другого порядку. Диференційні рівняння з двома змінними
- •1.Визначення рівняння другого порядку з двома змінними у частинних похідних.
- •2.Класифікація рівнянь.
- •Лекція №11. Рівняння гіперболічного типу. Постановка крайової задачі. Теорема єдиності розв’язку
- •1. Постановка крайової задачі.
- •Лекція №12. Редукція, загальної задачі. Задачі на прямій і напівпрямій. Формула Даламбера, метод продовження
- •1.Редукція, загальної задачі.
- •2. Формула Даламбера.
- •3. Крайова задача для напівпрямої, і метод продовжень.
- •Практичне заняття №9. Типи рівнянь другого порядку у частинних похідних. Рівняння коливання струни. Формула Даламбера
- •Лекція №13. Неоднорідні гіперболічні, рівняння на прямій і піввісі. Метод Фур’є розділення змінних
- •1. Неоднорідні гіперболічні рівняння на прямій і піввісі.
- •2. Метод розділення змінних.
- •Лекція №14. Перша крайова задача для гіперболічного рівняння
- •1.Неоднорідне рівняння з нульовими граничними умовами.
- •2.Перша крайова задача.
- •Практичне заняття №10. Метод Фур’є. Гіперболічні рівняння
- •3. Розв’язання першої крайової задачі у загальному випадку.
- •Лекція №15. Рівняння параболічного типу
- •1.Постанова крайових задач.
- •2. Єдиність розв’язку.
- •3. Метод розділення змінних.
- •Лекція №16. Перша крайова задача для рівняння параболічного виду
- •1. Неоднорідна задача з нульовими початковими і граничними умовами.
- •2. Перша крайова задача.
- •3. Задачі на нескінченій та напівнескінечній прямій.
- •Лекція №17. Рівняння еліптичного типу
- •1. Постановка крайових задач.
- •2. Перша крайова задача для круга. Інтеграл Пуассона.
- •3. Частинний розв’язок рівняння Лапласа.
- •Практичне заняття №11. Параболічні та еліптичні рівняння
- •Література:
Зміст
Лекція №1.Означення диференціального рівняння і розв’язку. Задача Коші. Теорема існування та єдиності розв’язку задачі Коші 2
Лекція №2. Рівняння з розділеними змінними. Однорідні рівняння 4
Практичне заняття №1. Рівняння з розділеними змінними 6
Практичне заняття №2. Однорідні рівняння 8
Лекція №3. Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі та Рікатті-Буля 10
Практичне заняття №3.Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі 12
Лекція №4.Особливі точки. Особливі рішення. Рівняння Клеро 14
Практичне заняття №4. Рівняння Клеро 16
Лекція №5. Системи диференціальних рівнянь першого порядку. Теорема існування та єдиності розв’язку задачі Коші. Рівняння п-го порядку 17
Практичне заняття №5. Рівняння п-го порядка. Способи зниження порядка 18
Лекція №6. Лінійні рівняння n-го порядку. Системи лінійно незалежних функцій 19
Лекція №7. Формула Остроградського – Ліувілля. Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами 22
Практичне заняття №6. Лінійне однорідне рівняння. Формула Остроградського – Ліувілля. Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами 24
Лекція №8. Лінійні неоднорідні рівняння n - го порядку. Застосування рівнянь у теорії коливань. Резонанс 25
Практичне заняття №7. Неоднорідні лінійні рівняння 28
Лекція №9. Системи п звичайних диференційних рівнянь. Лінійні рівняння з частинними похідними першого порядку 29
Практичне заняття №8. Система диференційних рівнянь. Диференційні рівняння у частинних похідних першого порядку 33
Лекція №10. Класифікація рівнянь у частинних похідних другого порядку. Диференційні рівняння з двома змінними 36
Лекція №11. Рівняння гіперболічного типу. Постановка крайової задачі. Теорема єдиності розв’язку 42
Лекція №12. Редукція, загальної задачі. Задачі на прямій і напівпрямій. Формула Даламбера, метод продовження 46
Практичне заняття №9. Типи рівнянь другого порядку у частинних похідних. Рівняння коливання струни. Формула Даламбера 50
Лекція №13. Неоднорідні гіперболічні, рівняння на прямій і піввісі. Метод Фур’є розділення змінних 54
Лекція №14. Перша крайова задача для гіперболічного рівняння 58
Практичне заняття №10. Метод Фур’є. Гіперболічні рівняння 60
Лекція №15. Рівняння параболічного типу 63
Лекція №16. Перша крайова задача для рівняння параболічного виду 66
Лекція №17. Рівняння еліптичного типу 70
Практичне заняття №11. Параболічні та еліптичні рівняння 73
Література: 76
Лекція №1.Означення диференціального рівняння і розв’язку. Задача Коші. Теорема існування та єдиності розв’язку задачі Коші
1.Означення диференціального рівняння і розв’язку.
Означення. Вираз виду F( , )=0 де – незалежна змінна, а – незалежна функція від цієї змінної, - похідні цієї функції, називається диференціальним рівнянням у звичайних похідних.
По порядку найвищої похідної визначається порядок рівняння.
Означення. Функція визначена на довільній множині, називається рішенням рівняння на даній множині, якщо при підстановці функції в рівняння воно звертається у вірну тотожність.
Приклад. y′= y=kx, k=const
2.Геометрична інтерпретація, диференціального рівняння першого порядку.
Нехай y′=f(x,у) - рівняння першого порядку, що розв’язано відносно похідної. В кожній точці (x,у) декартової площини побудуємо вектор з кутом нахилу , до додатної частини осі ОХ, для якого виконується рівність .
Сукупність всіх векторів називають полем напрямків, що задається рівнянням y′=f(x,у).
Поле напрямків є геометричною інтерпретацією диференціального рівняння першого порядку.
Якщо розв’язок рівняння y′=f(x,у), то у точці відповідний напрямок з кутом , для якого , буде співпадати з дотичною до графіка кривої з точкою дотику .
Отже, якщо є рішенням рівняння, то напрямок, проведений до кожної точки кривої, збігається з дотичної, проведеної в цій точці до кривої.
Iнтегральною кривою будем називати криву у якої дотична до будь-якої точки співпадає з напрямком проведеним до цієї точки.
Геометрична інтерпретація рішення - це той факт, що рішення є інтегральною кривою.
3. Загальні рішення диференціального рівняння. Задача Коші.
Означення. Функція y=φ( ) називається загальним рішенням диференціального рівняння n-го порядку, де – довільні константи, якщо воно є рішенням даного рівняння й будь-яке інше рішення можна одержати з даної функції шляхом відповідного вибору констант.
Припустимо, що треба знайти розв’язок рівняння який задовольняє умовам:
Такі умови називають початковими умовами, а задачу – задачею Коші. Для розв’язку задачі Коші треба знайти загальний розв’язок, а потім використовуючи початкові умови, знайти ті значення констант при яких розв’язок буде задовольняти початковим умовам.
Приклад. Точка рухається уздовж осі зі швидкістю υ(t). При t=0, точка перебуває в . Знайти положення точки в довільний момент часу.
Нехай - координата точки у довільний момент часу, тоді маємо
.
Отже . Використовуючи початкову умову отримаємо .
4. Теорема існування та єдиності розв’язку задачі Коші.
Розглянемо - задачу Коші для рівняння першого порядку.
Теорема. Нехай функція f(x,у) визначена й неперервна в області і за зміною у задовольняє умову Ліпшица: для будь-якого х і будь-яких виконується нерівність , М – константа. Тоді існує таке, що для задача Коші має єдине рішення, графік якого знаходиться в області D, причому , , ), де .
Доведення. Нехай у=у(х) розв’язок задачі Коші, тоді і інтегріруя отримаємо рівність , отже у=у(х) є рішенням інтегрального рівняння .
Навпаки, якщо у=у(х) розвязок інтегрального рівняння, то диференціруя його отримаємо, що у=у(х) – розв’язок задач Коші.
Таким чином, диференціальне рівняння й інтегральне рівняння - еквівалентні. Доведення теореми еквівалентно доведенню того, що інтегральне рівняння має рішення й воно єдине.
Розглянемо простір неперервних функцій , графіки яких з області D на цьому відрізку не виходять, на якому визначена метрика . Покажемо, що - повний простір. Нехай послідовність Коші в . З курсу аналза відомо, що збігаються до неперервно функції , . Доведемо включення , для цього треба показати, що графік не виходить з області D. Оскільки (графік в області D), то переходячи до границі при п→∞ отримаємо , , тобто .У цьому просторі розглянемо відображення: яке неперервну функцію у(х), в силу властивостей інтеграла, відображає у неперервну. З рівності | | ≤ ≤ N| | = . Маємо, що графік функції Ay не виходить за область D. Отже А: .
Доведемо, що А стискаюче відображення. Візьмемо і розглянемо ρ(Ay,Аz)= | - |≤ | |≤ | | ≤ M∙ ρ(y, z) | | ≤ , де α=М∙ h<1.
Отже відображення А є стискаючим відображенням і на підставі принципу стискаючих відображень воно має єдину нерухливу точку. Тобто, існує y(x), що є неперервною на відрізку функцією графік якої не виходить з області D, яка задовольняє рівності:
, тобто .
Значить задача Коші має єдине рішення. Теорема доведена.
Зауваження до теореми. Якщо частинна похідна обмежена на області D, то умова Ліпшица виконується.