- •Скорость
- •Ускорение и его составляющие
- •Тангенциальная составляющая ускорения
- •Угловая скорость и угловое ускорение
- •Законы Ньютона. Масса. Сила
- •Уравнение движения тела переменной массы
- •Работа, мощность
- •Уравнение динамики вращательного движения твердого тела
- •Момент импульса и закон его сохранения
Система отсчета. Траектория, длина пути, вектор перемещения
Материальной точкой называется тело обладающее массой, размерами которого можно пренебречь в рамках данной задачи.
Положение в пространстве определяется с помощью системы отсчета.
Системы отсчета — совокупность систем координат и тела отсчета.
r = r(t). (1.2)
Уравнения (1.1) (соответственно (1.2)) называются кинематическими уравнениями движения материальной точки.
Число независимых координат, полностью определяющих положение точки в пространстве, называется числом степеней свободы.
Траектория движения материальной точки — линия, описываемая этой точкой в пространстве.
Длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой с момента начала отсчета времени, называется длиной пути As и является скалярной функцией времени: s = s(t).
Вектор r=r-r0, проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в. данный момент времени (приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени), называется перемещением.
|r| <= s.
Скорость
Для характеристики движения материальной точки вводится векторная величина — скорость, которой определяется как быстрота движения, так и его направление в данный момент времени.
Вектором средней скорости <v> называется отношение приращения r радиуса-вектора точки к промежутку времени t:
Направление вектора средней скорости совпадает с направлением r. При неограниченном уменьшении t средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью v:
Мгновенная скорость v, таким образом, есть векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени.
Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касательной к траектории в сторону движения (рис. 3). По мере уменьшения t путь s все больше будет приближаться к |r|, поэтому модуль мгновенной скорости
Т.о. численное значение вектора V равно первой производно по времени от пути.
В случае неравномерного движения пользуются скалярной величиной, которая называется средняя скорость неравномерного движения.
<v> >= |V| т.к. ∆S >= |∆r|
Если выражение ds = vdt (см. формулу (2.2)) проинтегрировать по времени в пределах от t до t+t, то найдем длину пути, пройденного точкой за время t:
Ускорение и его составляющие
Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение.
Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t+t называется векторная величина, равная отношению изменения скорости v к интервалу времени t:
Мгновенное ускорение a есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени:
Разложим вектор v на две составляющие. Для этого из точки А (рис. 4) по направлению скорости v отложим вектор AD, по модулю равный v1. Очевидно, что вектор CD, равный v, определяет изменение скорости по модулю за время t: v=v1- v. Вторая же составляющая вектора v-vn характеризует изменение скорости за время t по направлению.
Тангенциальная составляющая ускорения
т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.
Найдем вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому As можно считать дугой окружности некоторого радиуса r, мало отличающейся от хорды АВ. Тогда из подобия треугольников АОВ и EAD следует vn/AB = v1/r, но так как AB = vt, то
В пределе при t0 получим v1v.
П оскольку v1v, угол EAD стремится к нулю, а так как треугольник EAD равнобедренный, то угол ADE между v и vn стремится к прямому. Следовательно, при t0 векторы vn и v оказываются взаимно перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор vn, перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ускорения, равная
Данное ускорение называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).
Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис.5):
Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения — быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории).