Глава I. Дифференцируемость и производная
§1. Скорость
Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки за промежуток времени от до . Пусть в момент времени точка занимает на числовой прямой положение , а в момент времени - положение . Величину пройденного пути за промежуток времени обозначим . Очевидно, .
Определение 1. Движение называется равномерным, если пройденные пути пропорциональны затраченному времени, т.е.
(1)
где - коэффициент пропорциональности, называемый скоростью. Из (1) следует, что
. (2)
Теорема 1. Движение, описываемое функцией , равномерно и прямолинейно тогда и только тогда, когда можно задать формулой , где .
Доказательство.
1. Пусть движение, описываемое функцией равномерно и прямолинейно. Рассмотрим промежуток времени от до и обозначим , . Вычислим скорость по формуле (2):
Тогда и, следовательно:
.
Введем обозначения: , . Получим: , где .
2. Пусть закон движения задан формулой , где . Тогда . Следовательно:
,
т.е. пройденные пути пропорциональны затраченному времени, а это и означает, что движение является равномерным.
Рассмотрим теперь неравномерное движение. Известен первый закон Ньютона: «Всякое тело сохраняет свое механическое состояние до тех пор, пока какие-либо внешние силы не выведут его из этого состояния».
Рассмотрим два случая для действующей силы .
. Движение тела будет равномерным, а значит по теореме 1 , где , называемая мгновенной скоростью.
2. Пусть, начиная с момента времени , . Тогда движение тела будет слагаться из двух составляющих:
а) указанного равномерного движения,
б) того движения, которое вызвала сила , если бы скорость в момент времени равнялась 0 (т.е. если бы движение рассматривалось именно с этого момента времени).
Как показал Галилей, если бы равнодействующая сила, приложенная в момент времени , была бы постоянной, начиная с этого момента, и была бы направлена по этой же прямой, то пройденный путь был бы пропорционален этой равнодействующей и квадрату времени, т.е.
,
где и , , – ускорение.
Очевидно, – бесконечно малая в точке более высокого порядка, чем . Таким образом, закон прямолинейного движения описывается функцией
, (3)
где , . Из формулы (3) определим:
(4)
Величина, описываемая формулой (4) – есть средняя скорость движения за промежуток времени от до . Переходя к пределу в (4) при , получим:
|
(5) |
Формула (5) не есть определение мгновенной скорости! Она является следствием того, что – «почти линейна».
Замечание. Часто в учебниках по физике формулу (5) принимают за определение мгновенной скорости. Однако, понятие скорости возникло в XVI-XVII вв. задолго до появления понятия производной.
§2. Понятие дифференцируемой функции и производной
В предыдущем параграфе мы рассмотрели задачу о прямолинейном движении точки и получили формулу для вычисления мгновенной скорости движения. Эта формула связана с отношением , где - закон движения, , - время.
Рассмотрим основные понятия теории дифференцирования функций одной действительной переменной и установим связь между этими понятиями и задачей о скорости, решенной нами в § 1.
Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке , если выполняются условия:
1) - неизолированная точка ,
2) приращение функции в окрестности точки представимо в виде
, (1)
где , при .
Определение 2. Пусть - неизолированная точка . Если существует
то значение этого предела называют производной функции в точке и обозначают . Таким образом,
|
(2) |
Замечание. Т.к. - неизолированная точка и , то - неизолированная точка . Можно переопределить значение в точке по непрерывности, положив
Определение 3. Пусть функция имеет производную в каждой точке или некоторого подмножества . Производной функции называется функция , где и для любого .
Рассмотрим примеры.
1) . Покажем, что функция дифференцируема в любой точке множества . Оценим приращение функции:
,
здесь и . Таким образом, в любой точке приращение функции представимо в виде (1).
2) . Покажем, что функция дифференцируема в любой точке множества . Оценим приращение функции:
,
здесь и . Таким образом, в любой точке приращение функции представимо в виде (1).
3) . Покажем, что функция дифференцируема в любой точке множества . Оценим приращение функции:
=
,
здесь и при . Таким образом, в любой точке приращение функции представимо в виде (1).
4) . Найдем , где .
Таким образом, .
Т.к. мгновенная скорость при неравномерном прямолинейном перемещении вычисляется по формуле
где - путь, то производная есть мгновенная скорость прямолинейного движения, описываемого функцией , в момент времени .
Рассмотрим основные свойства дифференцируемых функций.
Теорема 1. Если дифференцируема в точке , то непрерывна в точке .
Доказательство.
Т.к. дифференцируема в точке , то , где и при . Но тогда:
при ,
т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции в точке , а значит функция непрерывна в точке .
Обратная теорема неверна! Например функция непрерывна в точке , но не является дифференцируемой в этой точке.
Теорема 2. 1) Если дифференцируема в точке , то функция имеет производную в точке .
2) Если функция имеет производную в точке , то дифференцируема в точке .
Доказательство.
1) Т.к. дифференцируема в точке , то , где и при . Пусть . Тогда:
Переходя к пределу при , получим:
Таким образом, .
2) Пусть . Т.е. , где - бесконечно малая в точке . . Доопределим в точке по непрерывности, т.е. положим . Тогда:
,
где и при . Таким образом, функция дифференцируема в точке .
Вернемся к примерам:
из 2) следует, что
из 3) следует, что
из 4) следует, что дифференцируема в любой точке .
Контрпример к теореме 1:
Рассмотрим функцию . И пусть . Покажем, что не является дифференцируемой в точке . Действительно:
Т.к. односторонние пределы функции в точке не совпадают друг с другом, значит, предел функции в точке не существует:
Т.е. , и, следовательно, по теореме 2 функция не дифференцируема в точке .
Дифференцируемость – это локальное свойство функции (также, как непрерывность).