8. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Дано линейное однородное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами. В соответствии с общим методом решения таких уравнений составим характеристическое уравнение
.
Разложим левую часть уравнения на простейшие множители:
.
Видно, что уравнение
имеет два действительных корня
и
.
Кратность каждого из них равна 2.
Фундаментальная система решений состоит
из четырех функций:
;
;
;
Общее решение уравнения есть произвольная линейная комбинация этих решений:
Ответ:
9. Решить дифференциальное уравнение методом Лагранжа
Решение.
Рассматривается
неоднородное линейное уравнение второго
порядка с постоянными коэффициентами.
Метод Лагранжа, или метод вариации
произвольных постоянных, состоит в том,
что сначала находят общее решение
соответствующего однородного уравнения,
а затем общее решение неоднородного
уравнения ищут в специальном виде. А
именно, в таком же виде, как и общее
решение соответствующего однородного
уравнения, но считая коэффициенты
не постоянными, а неизвестными функциями,
которые находят так, чтобы неоднородное
уравнение при подстановке обращалось
в тождество. Используем этот метод для
решения данного уравнения.
Соответствующее однородное уравнение
Характеристическое уравнение
имеет корни
,
,
так что общее решение однородного
уравнения
Тогда общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде
.
Для нахождения
функций
и
составим известную из теории систему
,
которая в нашем примере имеет вид
.
Умножим первое
уравнение на
,
второе – на
и сложим полученные уравнения. Тогда
,
то есть
,
а
.
Здесь - произвольная постоянная.
Из первого
уравнения системы получим:
,
откуда
.
Тогда
Ответ:
10. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Данное неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет правую часть такого вида, что можно искать частное решение неоднородного уравнения по виду функции – правой части. Найдем сначала общее решение соответствующего однородного линейного уравнения
.
Характеристическое
уравнение
имеет действительный корень 6 кратности
2. Поэтому общее решение однородного
уравнения имеет вид
Частное решение
неоднородного уравнения будем искать
в виде
,
так как
есть функция вида
и число
не является корнем характеристического
уравнения. Найдем
,
и подставим вместе
с
в неоднородное уравнение:
.
Для того чтобы
равенство тождественно выполнялось,
коэффициенты при функциях
и
в
левой и правой части должны совпадать.
Это условие выражено системой уравнений
,
или
,
решая которую, получим A=16/25, В=-12/25.
Общее решение неоднородного линейного уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного и любого частного решения неоднородного. Складывая, получаем:
Ответ:
Тема 2. Ряды
1.
Исследовать сходимость числового ряда
.
Решение. Воспользуемся вторым (предельным) признаком сравнения для положительных числовых рядов. Вместе с данным рядом
(1) рассмотрим
ряд
(2).
Общий член ряда
(1)
,
общий член ряда (2)
.
Найдем
.
Так как этот предел
конечный и не равен нулю, то оба ряда
сходятся или расходятся одновременно.
Но ряд (2) сходится как ряд Дирихле
при
(по интегральному признаку:
,
несобственный интеграл сходится, поэтому
сходится и ряд (2)).
Ответ: данный ряд (1) сходится.
2.
Исследовать сходимость числового ряда
.
Решение.
Воспользуемся признаком Даламбера для
положительных числовых рядов. Общий
член данного ряда
.
Следующий за п-ным
членом
.
Найдем
.
Так как найденный предел меньше 1, то по признаку Даламбера ряд сходится.
Ответ: данный ряд сходится.
3.
Исследовать сходимость знакочередующегося
числового ряда
.
В случае сходимости исследовать на
абсолютную и условную сходимость.
Решение. Воспользуемся признаком Лейбница для знакочередующихся числовых рядов. Согласно этому признаку ряд сходится, если
1)
;
2) числовая
последовательность
является монотонно убывающей.
Для данного ряда оба условия выполнены:
1)
;
2)
,
.
Верно неравенство
.
Поэтому ряд сходится по признаку Лейбница.
Составим ряд из
модулей членов данного ряда:
.
Этот ряд расходится, так как является
рядом Дирихле с
.
Поэтому исходный ряд не сходится
абсолютно. Его сходимость является
условной.
Ответ: данный ряд сходится условно.
4.
Определить область сходимости степенного
ряда
.
Решение.
Рассматривается
ряд вида
,
где числовой коэффициент
.
Найдем радиус сходимости ряда по формуле
:
.
То есть интервал сходимости данного ряда (-1; 1). Исследуем сходимость ряда на концах интервала.
Пусть х=-1.
Тогда получаем знакочередующийся
числовой ряд
.
Этот ряд расходится, так как не выполнено
необходимое условие сходимости числового
ряда: если ряд
сходится,
то
.
По этой же причине не сходится и ряд,
полученный при х=1:
,
.
Ответ: область сходимости данного ряда – интервал (-1; 1).
5.
Определить область сходимости степенного
ряда
.
Решение. Обозначим
,
и будем рассматривать данный ряд как
степенной по степеням у.
Найдем его радиус сходимости,
,
:
.
Тогда ряд сходится
при
,
то есть на интервале (2; 4) изменения
переменной х.
Исследуем сходимость на концах интервала.
Пусть х=4.
Получаем числовой ряд
.
Этот положительный ряд сходится по
второму признаку сравнения со сходящимся
рядом Дирихле
,
:
.
Так как предел конечный и он отличен от нуля, то исследуемый ряд сходится вместе с рядом Дирихле.
При подстановке
в степенной ряд х=2
получаем знакочередующийся ряд
.
Ряд, составленный из модулей его членов
только что исследован. Он сходится.
Поэтому данный знакочередующийся ряд
сходится абсолютно.
Ответ: Область сходимости данного степенного ряда – отрезок [2; 4].
6.
Найти четыре первых, отличных от нуля,
члена разложения в ряд функции
по степеням
,
Решение.
1-й способ. Если функция имеет производные
достаточно высокого порядка в окрестности
точки
,
то первые члены разложения ее в степенной
ряд можно непосредственно найти по
формуле (ряд Тейлора для
):
Найдем
Все найденные значения отличны от нуля. Поэтому первые четыре члена
искомого разложения
образуют сумму
2-й способ. Можно воспользоваться известным разложением в биномиальной ряд
(*)
Преобразуем функцию к виду
и используем
формулу (*), полагая в ней
.
Получим тот же результат, что и первым
способом.
Ответ: Первые четыре члена разложения функции в ряд
7.
Разложить функцию
в ряд по степеням
,
используя разложения основных элементарных
функций.
Решение. Преобразуем функцию к виду
и воспользуемся стандартными разложениями
Тогда получаем степенной ряд, в котором чередуются члены этих рядов с коэффициентами cos и sin :
Ответ:
8.
Вычислить с помощью ряда определенный
интеграл
с точностью до 0.001.
Решение.
По-видимому, в условиях допущена ошибка,
так как данный интеграл – несобственный
(так как
),
и он расходится. Если бы в числителе
подынтегральной функции был знак «-»,
то интеграл бы сходился. Тогда (бы!)
используя стандартное разложение
,
мы разложили бы подынтегральную функцию в ряд
и проинтегрировали данный сходящийся степенной ряд почленно:
Далее, находя последовательно каждый член этого ряда, будем оценивать его, так как остаток знакочередующегося сходящегося ряда не превосходит по модулю первого отброшенного члена.
;
;
.
Итак, с точностью до 0.001
.
9.
Найти первые четыре члена разложения
в степенной ряд решения дифференциального
уравнения
при начальных условиях
,
.
Решение. Будем искать решение дифференциального уравнения в виде суммы его ряда Тейлора по степеням х-1:
Первые два члена
уже найдены в силу начальных условий.
Чтобы найти
,
подставим в дифференциальное уравнение
значение х=1,
тогда
.
Чтобы найти
,
продифференцируем данное дифференциальное
уравнение и подставим в полученное
уравнение значение х=1,
тогда
.
Четыре члена разложения уже найдены. Но два из них равны 0. Чтобы найти 4 ненулевых члена разложения, нужно продолжить дифференцировать обе части дифференциального уравнения.
;
Ответ:
10. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) на интервале [-, ],
Решение. Заданная функция кусочно-монотонна и ограничена, поэтому она допускает разложение в ряд Фурье
,
где
Найдем эти коэффициенты. Так как функция равна нулю на интервале (0, ], будем считать верхний предел интегрирования равным нулю.
;
Ответ:
всюду внутри
интервала (-,
),
кроме х=0.
На концах интервала и при х=0
значения функции находятся непосредственно
из ее задания. Они не совпадают со
значениями суммы ряда S(x),
которые, как известно из теории, в точках
разрыва функции равны:
,
то есть
;
;
