- •Заняття 9
- •§3.2. Послідовність. Границя послідовності
- •Способи задання послідовностей
- •Властивості, пов’язані із знаходженням границь послідовностей
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Заняття 10
- •§3.3. Границя функції
- •Основні теореми про границі
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Заняття 11
- •§3.4. Неперервність функції
- •Властивості неперервних функцій
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
Заняття 9
§3.2. Послідовність. Границя послідовності
Числову функцію y=f(x), визначену на множині натуральних чисел, називають числовою послідовністю. Позначають yn=f(xn), n=1, 2, … . Числа y1, y2, y3, ..., yn, ... називають членами послідовності (y1 – перший член послідовності, y2 – другий і т.д., yn – n-ий або загальний член послідовності), числа 1, 2, 3, ... n називають номерами цих членів. Наприклад, yn=n2, n=1, 2, ... . Для числових послідовностей застосовують також такі позначення: (yn), (аn), де yn і аn – n-і члени послідовностей.
Способи задання послідовностей
Задати числову послідовність можна: а) за допомогою формули загального члена послідовності; б) рекурентним способом.
а) Маючи формулу загального члена послідовності, можна знайти будь-який член цієї послідовності. Наприклад, якщо (аn)= , то а5= , а100= .
б) Рекурентний спосіб полягає в тому, що задають перший (або кілька перших членів) послідовності і зазначають формулу для обчислення наступних членів послідовності за заданими попередніми. Наприклад, послідовність чисел Фібоначчі задають першими двома членами і рекурентним співвідношенням: а1=0, а2=1, аn+2=аn+аn+1, nN. Надаючи n послідовно значення 1, 2, 3, …, одержуємо таку послідовність: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
Обмежені послідовності. Послідовність (аn) називають обмеженою знизу (зверху), якщо існує таке число m (M), що для всіх nN виконується нерівність аn≥m (аn≤M).
Послідовність (аn) називають обмеженою, якщо вона обмежена і знизу, і зверху, тобто існують такі числа m і M, що для всіх nN виконується нерівність m≤аn≤M.
Наприклад, послідовність (аn)= обмежена знизу, але необмежена зверху ( nN); послідовність (bn)= обмежена зверху, але необмежена знизу ( nN); послідовність (сn)= обмежена, бо nN.
Монотонні послідовності. Послідовність (аn) називають зростаючою, спадною, незростаючою, неспадною, якщо для всіх nN (для всіх ) виконуються відповідно нерівності:
аn+1>аn, аn+1<аn, аn+1≤аn, аn+1≥аn.
Зростаючі і спадні, незростаючі і неспадні послідовності називають монотонними.
Наприклад, послідовність – зростаюча; послідовність (bn)= – спадна; послідовність: 1; 1; 2; 2; 3; 3; … – неспадна.
Границя послідовності. Скінченне число а називають границею послідовності (yn), якщо для будь-якого >0 існує номер n0 (що залежить від ) такий, що для всіх n>n0 виконується нерівність yn–а<. При цьому позначають або ynа (n).
Суть поняття границі послідовності: число а є границею послідовності (yn), якщо її члени як завгодно мало відрізняються від а (майже дорівнюють числу а) при досить великих номерах n цих членів, тобто ynа, коли n.
Околом скінченної точки a називають будь-який інтервал, що містить цю точку. Наприклад, для точки х0=2 околами є інтервали: (–5;3), (0;4), (–;6). Околом плюс (мінус) нескінченно віддаленої точки називають інтервал (b; +) ((–; b)), де b – довільне дійсне число. Наприклад, (–10;+) – окіл плюс нескінченно віддаленої точки, (–; –3) – окіл мінус нескінченно віддаленої точки.
Число а називають границею послідовності (yn), якщо в будь-якому околі точки а міститься нескінчена кількість членів послідовності (yn), а за межами кожного околу знаходиться не більше, ніж скінченна їх кількість. Це є означення границі послідовності мовою околів. (Під поняттям не більше, ніж скінченна кількість членів розуміють скінченну кількість членів або жодного члена). В означенні границі послідовності мовою околів число а може бути як скінченним, так і нескінченно віддаленим.
Послідовність називають збіжною, якщо її границею є скінченне число. Послідовність, яка не є збіжною, називають розбіжною. Розбіжні послідовності включають в себе послідовності, що мають нескінченну границю, і послідовності, що не мають границі. Співвідношення між названими класами послідовностей виражає наведена схема.
Послідовність називають нескінченно малою, якщо її границя дорівнює 0. Послідовність називають нескінченно великою, якщо її границя дорівнює – або +.
Послідовність (yn) (yn0 nN) є нескінченно малою тоді і тільки тоді, коли послідовність нескінченно велика (властивість про зв’язок нескінченно малої і нескінченно великої послідовностей).
Якщо послідовність має границю, то така границя єдина.
Теорема Вейєрштрасса. Якщо послідовність монотонна, то вона має границю (скінченну або нескінченно віддалену). Зокрема, якщо монотонна послідовність є обмеженою, то вона збіжна.
Відомо, що послідовність є монотонною й обмеженою. Тому за теоремою Вейєрштрасса ця послідовність є збіжною. Границю цієї послідовності позначають e, тобто e= .
Число е – ірраціональне, e2,718.
Логарифм числа b>0 за основою e називають натуральним логарифмом і позначають .