10.13. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть
,
,
- уравнение поверхности
(см. рисунок 10.8). Кривые
,
являются сечениями поверхности
соответственно плоскостями
,
.
В этих плоскостях в точке
,
,
к каждой кривой сечений проведем
касательные прямые. Пусть прямая
является перпендикулярной касательным
и проходит через точку
.
Все прямые, проходящие через точку
перпендикулярно прямой
,
образуют плоскость
,
которая по определению есть касательная
плоскость к поверхности
в точке
.
Прямая
называется нормальной
прямой, или нормалью, к поверхности
в точке
.
Рисунок 10.8
Получим уравнение касательной плоскости.
Пусть
функция
дифференцируема в точке
.
На кривых
и
имеем точки
,
.
Пусть
- произвольная точка плоскости
,
которой принадлежит треугольник
.
Векторы
,
,
расположены в плоскости
.
Запишем необходимое и достаточное
условие компланарности этих векторов:
.
Раскрыв определитель, получим равенство
,
которое после преобразований запишем в виде
.
Если
точки
,
вдоль соответствующих кривых устремить
к точке
,
что равносильно
и
,
и вследствие этого
,
,
то плоскость
совместиться с касательной плоскостью
.
Тогда уравнение касательной плоскости
получит вид:
.
Отметим, что являются координатами точек касательной плоскости.
Если это уравнение записать в виде
,
то
можно найти координаты вектора
ортогонального касательной плоскости:
.
Примем вектор
за направляющий вектор нормальной
прямой
,
проходящей через точку
,
и запишем канонические уравнения прямой
:
.
Пусть уравнение поверхности задано уравнением с функцией , имеющей непрерывные частные производные в окрестности точки и значение . Тогда в силу теоремы 10.20 в окрестности точки уравнение поверхности можно выразить функцией . Этим самым обосновано существование касательной плоскости в точке . Применив формулы для частных производных функции , найдем их значения:
,
.
Исключим
и
из уравнения касательной плоскости и
после преобразований получим:
.
Последнее уравнение называют уравнением касательной плоскости в точке к поверхности , заданной неявным уравнением .
Аналогично получаем канонические уравнения нормальной прямой , проходящей через точку поверхности с неявным уравнением . Эти уравнения имеют вид:
.
Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормальной прямой к эллипсоиду
в
точке
.
Поверхность
задана неявным уравнением. Положим
и вычислим значения частных производных
функции
в точке
.
,
,
.
Составим уравнение касательной плоскости и преобразуем полученное уравнение к общему виду:
,
.
Найдем канонические уравнения нормальной прямой. Координаты направляющего вектора выберем из уравнения касательной плоскости.
.
Для существования касательной плоскости в точке к поверхности, которая задана неявным уравнением , достаточно отличия от нуля хотя бы одной частной производной функции в точке .