![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Билет №28
1.(10).Метрические пространства .Открытые и замкнутые множества. Полные метрические пространство .Теорема Банаха о сжимающем отображении и ее приложения.
Пусть задано
множество М и для любых х,у
М
введено понятие расстояния между ними
или метрика и обладающая следующими
свойствами 1.
2.
3.
Множество М удовл. 1-3 наз. Метрическим прстранством.
Определение Если множество D содержит все свои граничные точки, то оно называется замкнутым. Если же множество D не содержит ни одной своей граничной точки, то оно называется открытым (т. е. открытое множество состоит из одних внутренних точек). (пустое множество явл. замкнутым)
Определение Если любые две точки множества D можно соединить ломаной, целиком лежащей в D, то множество Dназывается связным.
Примеры связных множеств: круг, кольцо
Определение Если
все точки Р множества D
удовлетворяют неравенству
М, где М >0, а Р0
- некоторая точка множества D,
то D
называется ограниченным множеством.
Геометрически
ограниченность множества D
означает, что его можно целиком поместить
внутри открытого круга (или шара - в
случае пространственного множества) с
центром в точке Р0
и радиусом М. Подобно тому, как для
функции одной переменной было введено
понятие непрерывности на интервале или
отрезке, так и для функции нескольких
переменных можно ввести понятие
непрерывности на открытом или замкнутом
множестве. Однако сначала нужно условиться
о том, что мы будем по непрерывностью
функции в граничной точке .Пусть Р0
граничная точка множества D.
Будем говорить, что функция непрерывна
в граничной точке Р0,
если для любого
существует такое
,
что из неравенства
,
где Р
,
следует неравенство
.
Определение Если функция F(x,y) непрерывна в каждой точке М (внутренней или граничной), то функция называется непрерывной на множестве D.
Т
еорема
1Пересечение любого числа и сумма
конечного числа замкнутых множеств
есть замкнутое множество.
Теорема 2Множество
М открыто
дополнение
М до всего пространства R,
т. е.R\M
замкнуто.
Теорема2Объединение любого числа , пересечение любого конечного числа открытых множеств открыто.
Задача :Докажем что интервал (0,2)открытое множество .
Берем любое х
этому
интервалу .Найдем расстояние
.
Выделим окрестность
которая <
.Возьмем точку х0
1<х0<
х0
О
рассматриваем
суммух
бесконечного числа замкнутых множеств
обратное
доказывается методом от противного.
Допустим что это
не верно х
х
х=0
х
и
этогно не можкет быть .Это означает что
х
но т. к. х=
х=
это противоречит условию х
2.(9) Взаимное рассположение прямой и плоскости.
Пусть имеем прямую d, заданную уравнениями x= x0+l1t,
y= y0+l2t, (1)
z= z0+l3t.
и плоскость П, заданную уравнением Аx+By+Cz+D=0 (2)
относительно
аффинной системы координат R=
{0,
}.
Найдем общую точку прямой d
и плоскости П. Для этого нужно решить
систему уравнений (1), (2). Заменяя x,y,z
в уравнении(2) по формулам (1), получим:
(Аl1+Вl2+Сl3)t+(Ax0+By0+Cz0+D)=0
(3).
Здесь возможны
следующие случаи: 1)
система уравнений (1),(2) имеет единственное
решение
когда
уравнение (3) имеет единственное
решение
когда
Аl1+Вl2+Сl3
0
(4)- необходимое и достаточное условие
пересечения прямой d
и плоскости П. В прямоугольной системе
координат {O,
}
оно имеет простой геом-ий смысл: скалярное
произведение
направляющего
вектора
=
l1
+
l2
+
l3
прямой d
и вектор номали
=А
+В
+С
плоскости П отлично от нуля
векторы
и
не
ортогональны. В частоности, прямая d
перпендикулярна плоскости П
когда векторы
и
коллинеарны,
т.е. когда ранг
=1. 2)
система уравнений (1),(2) не имеет решений,
когда уравнение (3) не имеет решений,
т.е. когда
(5)
– необходимое и достаточное условие
того что d
П=.
В прямоугольной системе координат они
означают, что
┴
,
М0
П,
где М0(x0,y0,z0)
d.
3) система уравнений
(1),(2) имеет бесконечное множество решений
тогда и только тогда, когда уравнение
(3) удовлетворяет любым значениям t,
т.е. когда
(6)
- необходимое и достаточное условие для
того, чтобы прямая d
принадлежала плоскости П. В прямоугольной
системе координат они означают, что
┴
,
М0
П.
Из (5) и (6)
,
что d║П
Аl1+Вl2+Сl3=0.
Уголм между прямой
d
и неперпендикулярной к ней плоскостьюП
называется острый угол между этой
прямой и ее ортогональной проекцией d’
на плоскость П.