Алгебра
Вопрос №5. Задачи на прямую и плоскость.
Задача.
Требуется от общих уравнений прямой перейти к параметрическим, которые в некотором смысле являются более удобными.
Для того, чтобы написать параметрические уравнения прямой нужно знать координаты какой-нибудь точки на прямой и координаты направляющего вектора. Направляющий вектор можно найти двумя способами:
Во-первых, можно найти координаты другой точки M1 на этой же прямой и в качестве направляющего вектора взять вектор .
Во-вторых, если заметить, что нормальные векторы n1 и n2 плоскостей, чьи уравнения образуют систему уравнений для прямой, ортогональны самой прямой, то можно сделать вывод:
любой ненулевой вектор, ортогональный векторам n1 и n2, можно принять в качестве направляющего вектора p. В частности, можно положить .
Пример. Прямая задана уравнениями
(11.15)
Требуется написать ее параметрические уравнения.
Решение. Найдем какую-нибудь точку M0 на прямой. Положим z=0. Система (11.15) примет вид
Решая ее, находим , . Таким образом, на прямой лежит точка . Найдем направляющий вектор. Нормальными векторами плоскостей, соответствующих уравнениям системы (11.15), являются , Положим . Тогда
Теперь, зная точку и направляющий вектор, можно написать параметрические уравнения прямой.
Ответ:
Задача.
Дано уравнение плоскости и уравнения прямой. Требуется найти их точку пересечения.
Так как точка пересечения принадлежит и прямой, и плоскости, то она удовлетворяет и уравнению плоскости, и уравнениям прямой. Поэтому для решения задачи нужно объединить уравнение плоскости и уравнения прямой в одну систему и решить ее.
Пример. Найдите точку пересечения прямой и плоскости .
Решение. Прямая задана каноническими уравнениями. Им соответствует система уравнений
В результате для нахождения точки пересечения прямой и плоскости получаем систему уравнений
Для ее решения можно предложить следующий путь. Из первого уравнения выражаем y через x: . Из второго уравнения z через x: . Найденные выражения y и z подставляем в третье уравнение и находим . Находим y и z: , .
Ответ:
Следующие две задачи связаны с нахождением угла.
Даны уравнения двух прямых. Требуется найти угол между этими прямыми.
Угол φ между прямыми - это угол ψ между их направляющими векторами, если направляющие векторы образуют острый угол , или , если ψ - тупой угол . Во втором случае .
Для решения задачи достаточно найти направляющие векторы P1 и P2 прямых. Тогда
а искомый угол φ определяется из равенства
Даны уравнение плоскости П и уравнения прямой . Требуется найти угол φ между прямой и плоскостью.
По определению, угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость (рис. 11.12).
Рис.11.12. φ - угол между прямой и плоскостью
Пусть ψ - угол между нормальным вектором n плоскости П и направляющим вектором p прямой . Тогда либо (рис. 11.12), либо (рис. 11.13).
Рис.11.13. φ - угол между прямой и плоскостью
В обоих случаях , а так как , то
Еще одну, более сложную, задачу рассмотрим при конкретных числовых данных.
Пример. Найдите точку M1, симметричную точке относительно прямой :
Решение. Найдем сначала проекцию M0 точки M на прямую (рис. 2.14).
Рис.11.14.Точки, симметричные относительно прямой
Для этого напишем уравнение плоскости П, проходящей через точку M и перпендикулярной прямой , а затем найдем точку M0 , являющуюся точкой пересечения плоскости и прямой.
Заметим, что плоскость, перпендикулярная прямой , параллельна нормальным векторам n1 и n2 плоскостей, соответствующих уравнениям в системе (11.16). Поэтому нормальный вектор n плоскости, перпендикулярной прямой , можно взять равным : , ,
Уравнение плоскости П: , то есть .
Находим точку M0:
Решение этой системы: X = 2; Y = -1; Z = 1, .
Пусть - искомая точка. Тогда из рис. 11.14 видно, что . Находим , . Тогда
откуда , , .
Ответ: .
Вопрос № 24. Квадратичные формы.