- •Матриці, основні поняття. Різновиди матриць
- •Дії над матрицями. Властивості дій над матрицями
- •Визначники квадратних матриць. Способи обчислення визначників
- •4. Визначник н-го порядку. Теорема Лапласа.
- •5. Визначники. Властивості визначників.
- •6. Мінори та алгебраїчні доповнення елементів
- •7. Обернена матриця. Алгоритм оберненої матриці
- •8. Ранг матриці. Властивості рангу матриці
- •9. Основні поняття системи п лінійних алгебраїчних рівнянь з п змінними. Правило Крамера.
- •10. Матричний метод розв`язання слар. Алгоритм розв`язування системи матричним способом
- •11.Теорема Кронекера-Капеллі. Алгоритм розв’язування слар
- •12. Основні поняття системи m лінійних рівнянь з n змінними.
- •13. Метод Жордана-Гауса. Алгоритм кроку перетворення Жордана-Гаусса
- •14. Основні поняття слар. Системи лінійних однорідних рівнянь.
- •15. Скалярний і векторний добуток. Властивості векторного добутку
- •16. Мішаний добуток, властивості мішаного добутку.
- •17. Векторний простір, його розмірність і базис. Розклад вектора за базисом. Лінійно залежні і лінійно незалежні системи векторів
- •19. Вивести рівняння прямої, що проходить через дві точки і рівняння прямої у відрізках на осях.
- •20. Вивести векторне рівняння прямої та загальне рівняння прямої і його частинні випадки
- •21.Вивести нормальне рівняння прямої та рівняння пучка прямих.
- •22.Кут між двома прямими заданими канонічним рівнянням. Умови паралельності і перпендикулярності прямих.
- •23. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Відстань від точки до прямої
- •24. Кут між прямими, що задані рівнянням з кутовим коефіцієнтом. Умови паралельності і перпендикулярності прямих
- •25. Різновиди рівняння площини у просторі: за трьома точками, у відрізках на осях, нормальне.
- •27. Кут між площинами. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин. Відстань від точки до площини
- •29. Кут між прямими в просторі. Кут між прямою і площиною. Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини. Знаходження точки перетину прямої і площини
- •30. Поняття кривих ліній другого порядку. Дослідження рівняння другого порядку. Коло
- •31.Еліпс: означення, рівняння, графік, вершини, півосі, фокуси
- •32.Гіпербола: означення, рівняння, графік, спряжена гіпербола.
- •33.Парабола: означення, рівняння, графік, вершина, фокус.
- •34. Поняття числової послідовності: формула п-го члена, зростаюча спадна, обмежена послідовність.
- •35. Геометрична інтерпретація границі послідовності.
- •37. Нескінченно малі функції в точці і на нескінченності означення, властивості, геометрична інтерпретація означення, приклади
- •38.Нескінченно великі функції в точці і на нескінченності.
- •39. Теорема про зв`язок між нескінченно малими і нескінченно великими функціями. Теорема про зв`язок між нескінченно малими функціями та границею функції
- •41.Властивості функцій, які мають границю в точці
- •42. Властивості границь функцій.
- •45. Неперервність функції в точці: означення Коші та означення в термінах приростів функції та аргументу. Застосування поняття неперервності при обчисленні границь функцій
- •46. Властивості функцій, неперервних на відрізку. Геометрична інтерпретація цих властивостей
- •51. Правила диференціювання сталої, суми, добутку, частки функцій та наслідки з них
- •53. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної. Поняття нормалі до графіка функції та її рівняння. Економічний зміст похідної
- •4.1.2. Геометричний зміст похідної
- •54. Похідна складної та оберненої функцій
- •55. Диференціювання параметрично заданих функцій
- •62. Застосування правила Лопіталя у невизначеностях виду
- •64. Екстремум функції, необхідна та достатня умови існування екстремуму
- •65. Опуклість та вгнутість графіка функції. Необхідна і достатня умови опуклості (вгнутості) графіка функції
- •66. Точки перегину графіка функції. Необхідна і достатня умови існування точок перегину
- •78.Знаходження найбільшого та найменшого значення функції в області d
- •79.Первісна для заданої функції, її основні властивості
- •80.Невизначений інтеграл і його властивості
- •81.Метод безпосереднього інтегрування невизначених інтегралів
- •82.Знаходження невизначених інтегралів методом заміни змінної
- •83.Знаходження невизначених інтегралів методом інтегрування частинами
- •84.Інтегрування функцій, які містять у знаменнику квадратний тричлен.
- •86.Метод невизначених коефіцієнтів
- •87.Інтегрування функцій, що містять ірраціональності
- •88.Інтегрування тригонометричних функці
- •89.Інтегрування найпростіших раціональних дробів
- •90.Інтегрування найпростіших раціональних дробів
- •91.Визначений інтеграл і його властивості
- •92.Задача, що призводить до поняття визначеного інтеграла
- •93.Формула Ньютона-Лейбніца для обчислення визначених інтегралів
- •102.Метод найменших квадратів
- •103.Поняття ряду. Збіжність ряду та його сума
- •105.Необхідна ознака збіжності ряду
- •106.Еталонні ряли
- •107.Достатні ознаки збіжності додатних числових рядів. Ознака порівняння
- •113.Абсолютна та умовна збіжність рядів
- •114.Функціональні ряди. Основні поняття
- •115.Степеневі ряди. Основні поняття. Теорема Абеля
- •116.Радіус, інтервал, область збіжності ряду
- •117.Ряд Тейлора
- •Використання рядів до наближених обчислень функції
- •Використання рядів до наближених обчислень визначених інтегралів
- •121.Диференціальні рівняння. Основні поняття та означення
- •128.Диференціальні рівняння другого порядку, що допускають пониження порядку
- •129.Рівняння Бернуллі
- •130.Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •131.Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами
Матриці, основні поняття. Різновиди матриць
Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, яка має m рядків і n стовпчиків. Їх позначають великими літерами A,B,C і т.д.
Типи матриць:
Якщо кількість рядків матриці дорівнює кількості її стовпців, то матриця називається квадратною. Квадратну матрицю розміром п на п називають матрицею п-го порядку.
Квадратна матриця у якої всі елементи крім елементів головної діагоналі дорівнюють 0 називається діагональною матрицею.
Квадратна матриця, в якої елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а всі інші нулю називається одиничною матрицею, і позначають Е.
Квадратна матриця називається трикутною, якщо всі елементи, розміщені по один бік від головної діагоналі, дорівнюють 0.
Матрицю, у якої всі елементи дорівнюють 0 називають нульовою і позначають О.
Матриця, яка складається з одного стовпця називається матрицею-стовпцем, а яка складається з одного рядка – матрицею-рядком.
Матриця розміром 1 на 1 означає те число.
Дії над матрицями. Властивості дій над матрицями
1) Сумою двох матриць одного розміру називається третя матриця, кожний елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриці А і В.
2) Добутком матриці А на число К, називається матриця С, кожний елемент якої дорівнює добутку відповідного елемента матриці на число К.
3) Добутком матриці А на матрицю В (узгоджену з А), називається матриця С, кожний елемент якої дорівнює сумі добутків елементів і-го рядка першої матриці на відповідні елементи й-го стовпчика другої матриці
(Матриця А наз. узгодженою з матрицею В, якщо числу стовпців матриці А відповідає число рядків матриці В)
Добуток матриць має такі властивості:
А(ВС)=(АВ)С
А(В+С)=АВ+АС
(А+В)С=АС+ВС
к(АВ)=(кА)В
АО=ОА=0
6)
Визначники квадратних матриць. Способи обчислення визначників
Визначником або детермінантом матриці н-го порядку називається число, яке шукається за певним правилом.
За правилом трикутника та за правилом Саррюса: до визначників 3 порядку дописуються 2 перших стовпчики , та шукаємо суму добутків елементів , які утворюють головну діагональ та утворюють прямі паралельні їй, та добутки елементів, що утворюють побічну діагональ та прямі паралельні побічній.
4. Визначник н-го порядку. Теорема Лапласа.
Визначником n–ого порядку називається число, яке дорівнює алгебраїчній сумі добутків елементів будь-якого рядка, або стовпчика на відповідні їм алгебраїчні доповнення.
Т. Лапласа: визначник дорівнює сумі добутків усіх елементів будь-якого рядка на їх алгебраїчне доповнення
5. Визначники. Властивості визначників.
Квадратній матриці А п-го порядку можна поставити у відповідність число detA, яке називаюь визначником цієї матриці.
Властивоті визначника.
Властивість 1: Визначник не змінюється при транспортуванні.
Властивість 2: Якщо один із рядків визначника складається з нулів, то такий визначник дорівнює нулю.
Властивість 3: Якщо поміняти місцями будь-які два рядки визначника, то йго знак змінюється на протилежний.
Властивість 4: Визначник, який має два однакові рядки, дорівнює нулю.
Властивість 5: Якщо елементи будь-якого рядка визначника помножити на стале число С, то і визначник помножиться на С.
Властивість 6: Визначник, який має два пропорційні рядки, дорівнює нулю.
Властивість 7: Якщо всі елементи будь якого рядка визначника можна подати у вигляді суми двох доданків, то визначник бкде дорівнювати сумі двох визначників, у яких елементами цього рядка будуть відповідно перший доданок в першому визначнику і другий доданок в другому визначнику.
Властивість 8: Визначник не змінюється, якщо до елементів будь-якого рядка додати відповідні елементи будь-якого іншого рядка, попередньо помножені не деяке число.