- •1. Предмет комбінаторики. Правила суми і добутку. Перестановки без повторення . Перестановки з повтореннями.
- •2.Розміщення без повторення. Розміщення з повтореннями.
- •5. Трикутник Паскаля, біном Ньютона. Число всіх підмножин множини.
- •6.Комбінації з повтореннями.
- •7. Формули включень та виключень; вміти записати для 2 і 3.
- •8.Простір елементарних подій. Операції над подіями. Класичне означення ймовірності. Статистичне означення ймовірності.
- •9.Теорема додавання ймовірностей для несумісних подій. Теорема додавання ймовірностей для сумісних подій.
- •10.Залежні та незалежні події, умовна ймовірність.
- •11.Теорема множення для двох випадкових подій. Теорема множення для довільних випадкових подій.
- •12.Попарно залежні та незалежні у сукупності події. Приклад Бернштейна.
- •13.Геометричні ймовірності. Задача про зустріч. Задача Бюффона.
- •14. Ймовірність появи хоча б однієї випадкової події. Задача про товсту монету.
- •15.Формула повної ймовірності. Формула Бейеса.
- •1.Формула повної ймовірності
- •16. Формула Бернулі. Найймовірніше число “успіхів” у схемі Бернулі.
- •17.Теорема Пуассона
- •18. Локальна теорема Муавра-Лапласа. Функція Гаусса.
- •19. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Функція Лапласа.
- •20.Поняття випадкової величини. Функція розподілу. Приклади. Властивості функцій розподілу.
- •21.Закон розподілу дискретної випадкової величини. Математичне сподівання двв та його властивості.
- •Дисперсія двв та його властивості. Середнє квадратичне відхилення.
- •Математичне сподівання та дисперсія біномного розподілу двв.
- •24.Диференціальна функція розподілу неперервної випадкової величини, її властивості та ймовірносний смисл.
- •25. Відшукання інтегральної функції неперервної випадкової величини за відомою диференціальною функцією. Доведення рівності та її геометричний зміст.
- •26.Числові характеристики неперервної випадкової величини.
- •27. Нормальний закон розподілу, його параметри та графік. Зв’язок між функцією розподілу нормального закону та функцією Лапласа.
- •28.Ймовірність попадання нормально розподіленої величини в заданий інтервал.
- •29. Правило трьох сигм.
- •30. Поняття про закон великих чисел. Нерівності Чебишева.
- •31.Мода та медіана, квантилі.
- •32.Рівномірний розподіл та його числові характеристики.
- •Показниковий розподіл та його числові характеристики.
- •34. Закон розподілу Пуассона
- •35.Геометричний розподіл та його числові характеристики.
- •36. Початкові та центральні моменти. Асиметрія та ексцес.
- •37.Приклади: асиметрія показникового розподілу; асиметрія розподілу Пуассона.
- •Розподіл Пуассона
- •38.Теорема Чебишова.
- •39.Теорема Бернуллі
- •40. Центральна гранична теорема.
- •Классическая формулировка ц.П.Т.
- •41. Випадковий процес та його характеристики.
- •42.**Ланцюгі Маркова
- •Формальне визначення Послідовність дискретних випадкових величин називається ланцюгом Маркова (з дискретним часом), якщо
- •43.**Марківський випадковий процес. Потоки подій.
- •**Пуассонівський випадковий процес.
- •45. Поняття про генеральну сукупність та вибірку. Емпірична формула розподілу.
- •46. Вибіркові характеристики. Варіаційний ряд, таблиці частот, гістограма.
- •47.Полігон частот. Статистичне та інтервальне оцінювання параметрів розподілу.
- •48. Вибіркове середнє, вибіркова дисперсія. Інтервальні оцінки параметрів розподілу.
- •49.Надійні межі для математичного сподівання у випадку нормального розподілу.
- •50.Статистична гіпотеза та загальна схема її перевірки. Критерій Пірсона.
1. Предмет комбінаторики. Правила суми і добутку. Перестановки без повторення . Перестановки з повтореннями.
Комбінаторика – розділ математики, предметом якого є теоріяскінченних множин
Сполучення з повтореннямиПоєднанням з повтореннями називаються набори, в яких кожен елемент може брати участь кілька разів.
Перестановки без повторень - комбінаторні сполуки, які можуть відрізнятися один від одного лише порядком елементів ,що входять до них.
Послідовність довжини n, складена з k різних символів, перший з яких повторюється n1 раз, другий - n2 раз, третій - n3 раз, ..., k-й - nk раз (де n1 + n2 + ... + nk = n) називається перестановкою з повтореннями з n елементів.
В основі комбінаторики лежать два елементарні правила – суми і добутку.
Сформулюємо правило суми.
( ) , ( ) , N A m N B n A B = = ∩ = Ø ⇒ ∪ = + N A B m n ( ) .
Правило добутку (основне правило комбінаторики): якщо I-у дію можна здійснити n1 способами, II-у, яка не залежить від першої, – n2 способами, ..., k- ту, яка не залежить від усіх попередніх, – nk способами, то першу, другу, ..., k-ту дії послідовно можна здійснити n1n2...nk способами.
2.Розміщення без повторення. Розміщення з повтореннями.
Розміщення з повтореннями по m елементів n-елементної множини A – це послідовність елементів множини A, що має довжину m.Приклад. При A={a, b, c} розміщення з повтореннями по два елементи – це пари (a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c).
Розміщення по m елементів n-елементної множини A, де m£n – це послідовність елементів множини A, що має довжину m і попарно різні члени. Приклад. При A={a, b, c} розміщення по два елементи – це пари (a,b), (a,c), (b,a), (b,c), (c,a), (c,b).
3. Комбінації без повторення. Рівність С =С , її комбінаторний зміст.
Про комбінації говорять у тих випадках, коли порядок появи елементів під час витягування з базової сукупності не є істотним. Число комбінації без повторень з n елементів по m елементів позначається символом . Кількість можливих комбінації витягуваних елементів буде дорівнювати кількості розрізнюваних перестановок сукупності, в якій є рівно дві групи нерозрізнюваних елементів: або . Комбінація без повторень матиме сенс лише тоді, коли m≤n. При чому за точної рівності m=n існує лише одна комбінація, яка дорівнює базовій. Числа мають такі очевидні властивості:
1.
2.
Якщо є деяка комбінаторна конфігурація без повторень, побудована без урахування порядку, то число елементів у такій же комбінатрній конфігурації, але з урахуванням порядку, буде у М разів більше, де М – число можливих різних перестановок об'єктів, що складають елемент.
4.РівністьС =С +С , її комбінаторний зміст
. . . Ми можемо вибирати підмножини з елементів наступним чином: фіксуємо один елемент; число -елементних підмножин, що містять цей елемент, дорівнює ; число -елементних підмножин, що не містять цей елемент, дорівнює .
Доведення теореми (за допомогою комбінаторних міркувань):
Нехай множина A складається з n елементів, це число всіх -елементних підмножин множини А.
Всі k- елементні підмножини множини A розбиваються на 2 групи:
1) підмножини, в які входить a
2)підмножини, в які не входить a
Число підмножин у першій групі: (для того, щоб скласти підмножину першої групи, потрібно до елемента {a} вибрати ( k-1) елемент з (n-1) – елементної множини A \ {a})
Число підмножин у другій групі (для того, щоб скласти підмножину другої групи, потрібно вибрати k елементів з (n-1) - елементної множини A \ {a} )
Значить,