Элементы комбинаторики. Комбинаторные методы обработки информации.
Комбинаторика является разделом дискретной математики, изучающим некоторые операции над конечными множествами, такие как упорядочение множества и разбиение множества, интересуется расположением элементов в множестве, выясняет, сколькими способами можно расположить элементы множества в том или ином порядке. Это приводит к понятиям перестановок, размещений и сочетаний. Основными задачами комбинаторики являются: 1) определение вида соединения; 2) подсчет числа соединений.
Правила суммы и произведения
При определении вида соединения удобно пользоваться следующей схемой:
Все расчетные формулы комбинаторики базируются на двух основных правилах:
1.Правило суммы: если объект А может быть выбран n способами, а объект В – m способами, то выбор «А или В» может быть осуществлен n+m способами.
2.Правило произведения: если объект А может быть выбран n способами и после каждого из таких выборов объект В – m способами, то выбор «А и В» в указанном порядке может быть осуществлен n⋅m способами.
Соединения без повторений
Пусть дано множество М, состоящее из n элементов.
Опр. 1 Перестановки – всевозможные упорядоченные множества, составленные из всех элементов данного множества. Число всевозможных перестановок из n элементов обозначают Рn и находят по формуле
Рn= n! (1),
где n!= 1⋅2⋅3⋅ … ⋅n, 0!=1 по определению.
Пример 1. Сколько перестановок можно составить из трех букв а, в, с?
Решение: Р3=1⋅2⋅3=6. Действительно: авс, вас, асв, сав, вса, сва.♦
Пример 2. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «треугольник»?
Решение: Т.к. все буквы в данном слове разные, т.е. нет повторений, то можно воспользоваться формулой (1): Р11=11!=39916800.♦
Опр. 2 Размещениями из n по m называются всевозможные упорядоченные подмножества, содержащие m элементов из данных n. Обозначаются и вычисляются по формуле:
(2)
Пример 3. Сколько можно составить четырехзначных чисел, содержащих различные цифры из 5 цифр.
Решение: Четырехзначное число – это упорядоченная последовательность цифр, т.е. имеем дело с размещениями без повторений:
=5⋅4⋅3⋅2=120. ♦
Пример 4. В классе 10 учебных предметов и 5 разных уроков в день. Сколькими способами может быть составлено расписание на 1 день?
Решение: ♦
Опр. 3 Сочетаниями из n по m называются всевозможные подмножества данных n элементов, состоящие из m элементов. Для подсчета их числа используются следующие обозначение и формула:
(3).
Пример 5. Сколькими способами можно из 7 различных открыток выбрать три?
Решение: Совокупность трех открыток является неупорядоченным подмножеством семи открыток, поэтому имеем дело с сочетаниями:
♦
Пример 6. Из группы в 25 человек нужно выбрать троих для работы на субботнике.
Решение. Если выбирать их последовательно, сначала первого, потом второго, потом третьего, то получим 25 * 24 * 23 Но так как нас не интересует порядок выбора, а только количество выбранных человек:
25!/(3!*22!)
Соединения с повторениями
Опр: 4 Перестановками с повторениями называются перестановки из n элементов, в каждую из которых входит n1 элементов а, n2 элементов b, …, nk элементов l, где n=n1+n2+…+nk. Число перестановок с повторениями вычисляется по формуле:
Пример 7. Сколькими способами можно переставить буквы в слове “математика”.
Решение: В слове “математика” есть повторяющиеся буквы: “м” – 2 раза, “а” – 3 раза, “т” – 2 раза, “е” – 1 раз, “и” – 1 раз, “к” – 1 раз. Порядок расположения элементов имеет значение (это очевидно, так как если переставить местами 2 буквы, то получатся разные слова) и все элементы используются, следовательно, это перестановка с повторениями.
Таким образом, в слове “математика” можно переставить буквы 151200 способами.
Опр 5 Сочетания из n элементов, в каждое из которых входит m элементов, причем один и тот же элемент может повторяться в каждом сочетании любое число раз, но не более m, называются сочетаниями с повторениями. Число сочетаний с повторениями вычисляется по формуле:
Пример 8. На почте продаются открытки 10 сортов. Сколько вариантов существует для покупки 12 открыток.
Решение: Порядок расположения элементов не имеет значения, следовательно, это сочетание. А так как открытки в наборе могут повторяться, то это сочетание с повторениями.
Таким образом, из 10 открыток можно выбрать набор из 12 штук 293930 способами.
Опр. 6 Размещениями с повторениями из n элементов по k элементов называются упорядоченные множества, каждое из которых содержит k необязательно различных элементов из данного множества n элементов. Число размещений с повторениями вычисляется по формуле:
Пример 9. В стену здания вмонтированы 8 гнезд для флажков. В каждое гнездо вставляется либо голубой, либо красный флажок. Сколько различных случаев распределения флажков на здание.
Решение: Так как порядок расположения элементов важен и не все элементы используются в данном соединении, то это размещение. А так как всего 8 гнезд, а флажков 2 вида (голубой и красный), то они будут повторяться, т.е. это размещение с повторением.
Таким образом, существует 256 способов украсить здание с 8 гнездами флажками двух цветов.
Если имеются ограничения на количество разных предметов, которые можно помещать на позиции. В этом случае число перемещений рассчитываться по формуле:
A = k1 * k2 * k3 *...*kn (2)
Пример 10. В эстафете 100, 200, 400, 800 метров на первую позицию тренер может выставить одного из 3 бегунов, на вторую - одного из 5, на третью - одного из 6, на четвертую - единственного бегуна (на каждую позицию выставляются разные бегуны). Сколько вариантов расстановки участников эстафетного забега может составить тренер?
Решение: В соответствии с формулой получаем, что число вариантов равно:
3 * 5 * 6 * 1 = 90.
Пример 11. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3?
Решение: На первое место в трехзначном числе можно выбрать любую цифру их трех (кроме нуля), после каждого такого выбора на второе место можно поставить любую цифру из оставшихся трех, на третье – из оставшихся двух. По правилу 2 получим: 3⋅3⋅2=18 чисел.♦