- •§1. Понятие группы. Группа ортогональных матриц. Группа комплексных корней
- •§2. Деление многочленов с остатком. Алгоритм Евклида. Критерий взаимной простоты двух многочленов.
- •§3. Линейные пространства. Базис. Линейные преобразования. Собственные значения и собственные векторы линейных преобразований.
- •§4. Фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений. Ядро линейного оператора и его базис.
- •5(1). Полож. Опред. Квадратичные формы.
- •6(1). Симметр. Преобр. Евклидовых пространств.
6(1). Симметр. Преобр. Евклидовых пространств.
Опр. Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного умножения: любым двум векторам и сопоставлено действительное число (обозначаемое ), и это соответствие удовлетворяет условиям, , и и число
1.
2.
3.
4.
Опр. Линейное преобразование φ евклидова пространства V, называется симметрическим (самосопряженным),если
Т1:Линейное преобразование явл. симметрическим тогда и только тогда, когда соотношения выполняются для любой пары , элементов произвольно выбранного базиса евклидова пространства V.
Опр. Квадратная матрица наз. сим-метрической, если для всех i и j от 1 до n .
Т2: Линейное преобразование φ евклидова пространства V, является симметрическим тогда и только тогда, когда матрица этого преобразования в любом ортонормированном базисе явл. симметрической.
Т3. Собственные векторы симметрического преобразования φ, принадлежащие разным собственным значениям, ортогональны.
Док-ва. Пусть - собственные вектора симметрического преобразования φ принадлежащие соответственно собственным значения тогда так как φ симметрическое преобразование
Так как собственные векторы
Получим или
. Отсюда . Так как то . Значит, , то есть векторы ортогональны
Т4. Собственные значения симметрического преобразования φ всегда действительные числа.
Предположим, что среди собственных значений симметрического преобразования φ есть комплексный корень .
Пусть - собственный вектор φ, соответствующий собственному числу , тогда его координаты – комплексные числа.
Известно, что корни многочлена с действительными коэффициентами попарно сопряжены. Значит, среди собственных значений преобразования φ есть число . Этому значению соответствует вектор , координаты которого сопряжены с соответствующими координатами вектора .
Рассмотрим скалярное произведение векторов и . В ортонормированном базисе скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.
так как и
По теореме 3 так как
Полученное противоречие доказывает, что собственные значения симметрического преобразования φ всегда действительные числа
Лемма. Если L — подпространство евклидова пространства V, инвариантное относительно симметричного линейного преобразования φ, то ортогональное дополнение тоже инвариантно относительно φ.
Пусть . Проверим, что для любого . Имеем , ибо по условию .
Т5. Если - собственный вектор симметрического преобразования φ и ортогонален , то вектор ортогонален
ортогонален
Т6. Для каждого симметрического линейного преобразования евклидова пространства, сущ-ет ортонормированный базис этого пространства, состоящий из собств. векторов преобразования.