3.4Интегрирование системы уравнений

Пусть задана система двух уравнений с двумя искомыми функциями

,

.

Требуется найти решения этой системы, удовлетворяющие начальным условиям , при .

Будем определять значения функции и при значениях аргумента , , ,… , ,… . Пусть

.

Приближенные значения функции обозначим

, , ,… , ,…

и соответственно

, , ,… , ,… .

Рекуррентные формулы, по типу формул , выглядят следующим образом

,

.

Для проведения вычислений по этим формулам нужно знать, кроме , , значения , и , . Эти значения находим по формулам типа

,

,

,

.

Для применения этих формул нужно знать , , , , , . Из уравнений и находим

,

.

Дифференцируя уравнения и и подставляя значения , , , , найдем

,

.

Дифференцируя еще раз, найдем и . Зная , , , находим из уравнений и

, , , , , , , , , .

По формулам и найдем и , а из уравнений и найдем и . Вычислив , , , снова по формулам и найдем и и т. д.

Рассмотрим пример нахождения приближенных значений решений системы уравнений , с начальными условиями , при . Значения решения определим при , , , .

Из данных уравнений получим значения для и

,

.

Дифференцируя данные уравнения, находим

,

,

,

.

По формулам и находим

,

,

,

.

На основании данных уравнений находим

, ,

, ,

, ,

, ,

, .

Далее по формулам и находим

,

,

,

.

Известно решение этой системы уравнений , (гиперболические синус и косинус ). Поэтому пять верных, после запятой, знаков решений равны , .

Так как уравнения высших порядков и системы уравнений высших порядков во многих случаях сводятся к системе уравнений первого порядка, то изложенные методы применимы к решению этих задач.

3.5Построение цифровых бих фильтров

Пусть задана следующая система уравнений, состоящая из двух линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядков (одно из которых неоднородное) и одного алгебраического уравнения

,

со следующими начальными условиями

.

Получим одно дифференциальное уравнение, составленное по переменной . Дополнительное начальное условие для одного уравнения получим следующим образом

.

Так как в исходной системе уравнений, помимо требующейся переменной и ее производных, имеются четыре другие переменные , , , , то дополним заданную систему уравнений, двумя другими линейно независимыми уравнениями. Число уравнений в новой системе должно быть на одно больше чем число переменных и их производных, отличных от переменной . Четвертое уравнение получим, дифференцируя алгебраическое уравнение 3), пятое уравнение получим, дифференцируя уравнение 2). Запишем новую систему уравнений, оставляя в правой части уравнений ноль

.

Для упрощения дальнейших преобразований, введем следующие обозначения

, ,

,

,

Запишем коэффициенты при переменных, учитывая новые обозначения, в Табл. 3.1.

Каждый столбец таблицы отмечен некоторой переменной и ее производной. Столбцы таблицы отмечаются только теми переменными и их производными, которые присутствуют в исходной системе уравнений. Каждая строка таблицы отмечается номером уравнения.

Умножив некоторую строку таблицы на специально подобранную величину и сложив результат умножения с другой строкой таблицы, получим новую строку с нулевым коэффициентом при выбранной переменной.

Проведя последовательность таких умножений и сложений, получим строку с нулевыми коэффициентами при переменных и их производных, отличных от выбранной переменной и ее производны.

Получение уравнения, включающего в себя только переменную и ее производные, представлено в Табл. 3.2 ‑ Табл. 3.6.

Табл. 3.1 – Коэффициенты системы уравнений

I11	-1	I31	0	0	0	0	0	J41	1)
0	0	I32	0	0	J12	-1	0	0	2)
1	0	-1	0	-1	0	0	0	0	3)
0	1	0	-1	0	-1	0	0	0	4)
0	0	I35	I45	0	J15	0	-1	0	5)

Умножим уравнение 1) на коэффициент и сложим с уравнением 3). Получим новое уравнение, в котором коэффициент при переменной равен нулю. Результат сложения запишем на место третьего уравнения.

Табл. 3.2 – Коэффициент при в уравнении 3) равен нулю

I11	-1	I31	0	0	0	0	0	J41	1)
0	0	I32	0	0	J12	-1	0	0	2)
0			0	-1	0	0	0
0	1	0	-1	0	-1	0	0	0	4)
0	0	I35	I45	0	J15	0	-1	0	5)

Умножим уравнение 3) на коэффициент и сложим с уравнением 4). Получим новое уравнение, в котором коэффициент при переменной равен нулю. Результат сложения запишем на место уравнения 4).

Табл. 3.3 – Коэффициент при в уравнении 4) равен нулю

I11	-1	I31	0	0	0	0	0	J41	1)
0	0	I32	0	0	J12	-1	0	0	2)
0			0	-1	0	0	0		3)
0	0		-1		-1	0	0
0	0	I35	I45	0	J15	0	-1	0	5)

Умножим уравнение 2) на коэффициент и сложим с уравнением 4). Получим новое уравнение, в котором коэффициент при переменной равен нулю. Результат сложения запишем на место уравнения 4).

Табл. 3.4 – Коэффициент при в уравнении 4) равен нулю

I11	-1	I31	0	0	0	0	0	J41	1)
0	0	I32	0	0	J12	-1	0	0	2)
0			0	-1	0	0	0		3)
0	0	0	-1				0
0	0	I35	I45	0	J15	0	-1	0	5)

Умножим уравнение 2) на коэффициент и сложим с уравнением 5). Получим новое уравнение, в котором коэффициент при переменной равен нулю. Результат сложения запишем на место уравнения 5).

Табл. 3.5 – Коэффициент при в уравнении 5) равен нулю

I11	-1	I31	0	0	0	0	0	J41	1)
0	0	I32	0	0	J12	-1	0	0	2)
0			0	-1	0	0	0		3)
0	0	0	-1				0		4)
0	0	0	I45	0			-1	0

Умножим четвертое уравнение на величину и сложим с пятым уравнением. Получим новое уравнение, в котором коэффициент при переменной равен нулю. Результат сложения запишем на место пятого уравнения.

Табл. 3.6 – Коэффициент при в уравнении 5) равен нулю

I11	-1	I31	0	0	0	0	0	J41	1)
0	0	I32	0	0	J12	-1	0	0	2)
0			0	-1	0	0	0		3)
0	0	0	-1				0		4)
0	0	0	0				-1

В результате проведенных преобразований получили некоторое уравнение, заданное пятой строкой таблицы. В этом уравнении используется только одна переменная, из исходной системы уравнений ( ), и её производные.

Для упрощения дальнейших преобразований, введем следующие обозначения

,

,

,

,

.

С учетом новых обозначений, полученное в результате преобразования Табл. 3.1 линейное неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами (см. Приложение 1.2) выглядит следующим образом

.

Проверим правильность проведенных преобразований таблицы путем решения исходной системы уравнений и решения полученного уравнение при одинаковых значениях переменных , , , , с учетом одинаковых начальных условий , .

В качестве функции правой части уравнений будем использовать единичную функцию, заданную следующим образом .

Для решения уравнений используем средства пакета MathCAD.

Процедуры и результаты интегрирования этих уравнений представлены на Рис. 3., Рис. 3. соответственно.

Графики решений для переменных (система уравнений ) и (полученное уравнение ), представленные на Рис. 3., совпадают.

Для интегрирования уравнения средствами микропроцессорной системы можно представить это уравнение в виде некоторого разностного уравнения, составленного или по схеме Эйлера или по схеме Адамса.

С другими схемами численного интегрирования (такими как Рунге-Кутты, Ньютона-Котеса и пр.) можно ознакомится в [ 2 ].

Заменим производные первого, второго и третьего порядка в уравнении следующими разностями

,

,

Рис. 3.7 – Процедуры интегрирования уравнений ,

Рис. 3.8 – Результаты интегрирования уравнений ,

.

Оставляя коэффициенты , , , , при производных уравнения и проведя преобразования представленных выше разностей, получим следующие уравнение

.

Умножим левую и правую часть уравнения на и сгруппируем коэффициенты при переменных , , , , , .

Теперь уравнение примет следующий вид

.

Для упрощения дальнейших преобразований разделим все коэффициенты на величину и введем следующие обозначения

,

,

,

,

.

Выражение, определяющее зависимость значения переменной на шаге n ( ) от значений этой переменной на предыдущих шагах ( , , ) и значений правой части уравнения ( , ), выглядит следующим образом

.

Проверим правильность проведенных преобразований, решая исходную систему уравнений и полученное уравнение при одинаковых значениях переменных , , , , с учетом начальных условий , , средствами пакета MathCad. В качестве функции правой части используем единичную ступеньку, заданную следующим образом .

Начальные условия для пошагового интегрирования уравнения определим следующим образом

.

На следующем шаге ( ) значение переменной интегрирования определяется следующим образом

.

Процедуры и результаты интегрирования этих уравнений представлены на Рис. 3., Рис. 3. соответственно. Структура БИХ фильтра, соответствующая этим уравнениям, представлена на Рис. 3.. Графики переменных ( , ) уравнений , отличаются вследствие ошибок, вызванных выбранной конечно-разностной схемой интегрирования уравнения .

Используемый метод интегрирования (например, или Эйлера, или Адамса или какой либо другой метод) определит точность получаемого результата. Выбор схемы интегрирования определяется, кроме характеристик погрешности, производительностью цифрового устройства. Цифровое устройство должно иметь достаточную скорость для обработки всех операций шага интегрирования за интервал времени меньший, чем расстояние между соседними прерываниями .

Временное расстояние между прерываниями микропроцессора определят интервал времени (шаг интегрирования). Этот шаг определяет временное расстояние между выборками значений входной функции и таким образом (см. приложение А.7, теорему Котельникова) определяет обрабатываемый спектр входного сигнала.

Алгоритм обработки континуального сигнала, заданный или системой дифференциальных уравнений или одним дифференциальным уравнением, может быть реализован в микропроцессорной системе при достаточной ее производительности и при допустимых потерях части спектра входного сигнала, обусловленных расстоянием между соседними прерываниями .

Рис. 3.9 – Процедура интегрирования уравнения

Рис. 3.10 – Результаты интегрирования уравнений ,

Рис. 3.11 – Цифровой БИХ фильтр системы уравнений

Наибольшее распространение при численном интегрировании получили схемы Рунге-Кутты, так как погрешность интегрирования по этой схеме значительно меньше, чем у конечно-разностной схемы.

Цифровой БИХ фильтр может быть реализован на отдельных элементах. Для его реализации необходимы: сумматор, усилители с заданными коэффициентами , , элементы задержки на время , электронный ключ и сглаживающий фильтр.