- •4.1.1. Связки и таблицы истинности
- •4.1.2. Логические возможности. Логически истинные и логически ложные высказывания
- •4.1.3. Отношения следования, эквивалентности и несовместимости
- •4.1.4. Аргументы правильные и ложные
- •4.1.5. Множества и операции над ними. Диаграммы Венна. Соотношения между
- •6 Информатика и математика | ј |
- •3. Перестановки:
- •4) Поступила информация о том, что высказывание а истинно. (4.25)
4. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ЛОГИКИ, ВЕРОЯТНОСТЬ И АНАЛИЗ
ДАННЫХ В ПРАВОПРИМЕНИТЕЛЬНОЙ
ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
4.1. Основы математической логики. Множества и подмножества
Математическая логика — современный вид формальной логики, изучающей правила
выведения следствий из различных посылок, истинность которых очевидна. Мате-
матическая логика возникла в середине XIX в. для потребностей математики и стала
применяться в самых различных областях знаний, в том числе и в правоприменительной
деятельности.
Основным понятием математической логики является понятие высказывания
(высказывания будем обозначать латинскими буквами: а,Ъ,с,...). Любое высказывание
быть одновременно и истинным и ложным не может. Какой из этих случаев имеет место?
При ответе на этот вопрос надо учитывать тот факт, что одно и тоже высказывание может
быть истинным в одних условиях и ложным — в других. Например, значение истинности
(т.е. истинность или ложность) высказывания «норма жилой площади устанавливается в
размере 18 кв. м на одного человека» определяется принятым ЖК.
4.1.1. Связки и таблицы истинности
Различают простые и составные высказывания. Высказывание «наследники умершей — ее
муж и сын» — составное, в то время как высказывания «наследник умершей — ее муж» и
«наследник умершей — ее сын» — простые. Связывание простых высказываний в
составные осуществляется логическими операциями, называемыми связками.
Рассмотрим следующие связки: конъюнкцию, дизъюнкцию, отрицание, импликацию и двойную импликацию. Обозначим символами а и b два какие-либо высказывания.
> Конъюнкцией высказываний а и b называется высказывание алЬ («а и Ь») истинное, если истинно каждое из высказываний а и Ь, в противном случае алЬ ложно.
Высказывание «юрист должен знать информатику и математику» является конъюнкцией
высказываний: а — «юрист должен знать информатику» и b — «юрист должен знать
математику».
Зависимость значения истинности составного высказывания от значений истинности его
компонент представляется таблицей истинности.
Таблица истинности высказывания алЬ изображена на рис. 4.1.
Рис. 4.1
> Дизъюнкцией высказываний а и b называется высказывание амЬ («я или Ь», иначе «а
либо Ь») истинное, когда одно из высказываний истинно, а другое ложно, и ложное, когда
оба высказывания ложны (рис. 4.2,а). Неоднозначность первой строки рис. 4.2,а
объясняется тем, что обиходное употребление связки «или» двусмысленно: если «или» понимать в смысле «одно или другое, или оба», то при истинности обоих высказываний а и b будет истинно высказывание avb; если же «или» понимать в смысле «одно или другое, но не оба», то одновременная истинность а и b не возможна, т.е. при истинности а и b высказывание avb будет ложно. Например, в высказывании «договор может быть заключен в устной или письменной форме» допускается возможность заключения договора не только в какой-то одной форме, но и в обоих. А в высказывании «5 марта я поеду на шахматный турнир в Москву или во Владивосток» исключено посещение обоих турниров одновременно. В математической логике для устранения двусмысленности связки «или» введены термины:
• дизъюнкция в неисключающем смысле — это дизъюнкция avb, истинная при
истинности не только одного из высказываний а или Ь, но и обоих (иначе, при истинности
не менее одного из двух высказываний; иначе, при истинности по крайней мере одного из
двух высказываний; иначе, при истинности хотя бы одного из двух высказываний); ее таблица истинности приведена на рис. 4.2,6;
• дизъюнкция в исключающем смысле (обозначим ее а у Ь) — это дизъюнкция
истинная при истинности только одного из высказываний а или Ь, но не обоих; ее таблица
истинности изображена на рис. 4.2,в.
> Отрицанием высказывания а называют высказывание ~а («не а» или «неверно, что о»),
отрицающее а.
Таблица истинности высказывания ~й изображена на рис. 4.3.
Рис. 4.3
> Импликацией высказываний а и b называется высказывание а-*Ь («если а, то 6»)
ложное, когда а истинно, но b ложно, а в остальных случаях - истинное.
Таблица истинности высказывания а-*Ъ изображена на рис. 4.4. Ее первые две строки:
«если как а так и Ъ истинны, то а-*Ъ истинно», «если а истинно, а Ъ ложно, то а-*Ъ ложно» очевидны. При а ложном значение истинности высказывания а-^Ь, вообще говоря, неопределенно, но поскольку каждое высказывание должно быть либо истинным, либо ложным, считается, что при а ложном высказывание а->Ь истинно (см. рис. 4.4, 3-я и 4-я
строки); основанием для принятия такого решения может служить как бы оправдание при
а ложном импликации а-^Ъ «за недостаточностью улик» [30].
В юридических текстах в форме импликаций формулируют правовые предписания,
разрешения и т.д.; например: «Если договор поднайма заключен без указания срока, нани-
матель обязан предупредить поднанимателя о прекращении договора поднайма за три месяца» (ч. 2 ст. 80 ЖК РСФСР). Отметим, что импликация а -> Ъ при отсутствии
смысловой связки между а и Ь звучит странно. Так, странно звучат импликации: «если 2 •
2 = 4, то 3 + 2 = 6» и «если 3 + 2 = 6, то 2 • 2 = 4», первая из которых ложна (см. рис 4.4, 2-
я строка), а вторая - истинна (см. рис. 4.4, 3-я строка). Но связка «если а, то Ъ», не
означает никакой причинно-следственной связи, не означает, что из а следует Ъ
(отношение следования рассматривается ниже): просто а-+Ъ — это новое высказывание,
образованное из а и Ъ. Поэтому рассмотренные парадоксальные импликации имеют право
на существование.
> Двойной импликацией высказываний а и Ь называется высказывание а<^Ь («Ь, если и
только если о»); не путать с одинарной импликацией а-*Ь («если а, то Ь»). Высказывание
«Ь, если и только если а» означает истинность двух высказываний: «если а истинно, то и Ь
истинно» и «если а ложно, то и Ь ложно». Поэтому двойная импликация я<->Ј истинна
только в этих случаях и ложна в остальных (см. рис. 4.5).
Форму двойной импликации имеет, например, высказывание «совершивший уголовное
преступление подлежит уголовному наказанию» (—Ь), если и только если возраст со-вершившего уголовное преступление не меньше 14 лет (=а). Очевидно, что истинны высказывания: «если возраст ...не меньше 14 лет, то ... подлежит ... наказанию» (рис. 4.5, 1-я строка) и «если возраст ... меньше 14лет, то не подлежит ... наказанию» (рис. 4.5, 4-я строка), и ложны высказывания: «если возраст ...не меньше 14 лет, то ... не подлежит ... наказанию» (рис. 4.5, 2-я строка) и «если возраст ... меньше 14 лет, то ... подлежит ... наказанию» (рис. 4.5, 3-я строка).
Покажем, как строятся таблицы истинности составных высказываний.
Последовательность построения таблицы для высказывания а(-*Ь) <-» (~avb),
компонентами которого являются простые высказывания а и Ь, приведена на рис. 4.6.
Замечание.
Высказывания, в которых присутствуют скобки, следует читать подобно алгебраическим
выражениям. В данном случае сначала выполняется связка а-^Ь, стоящая в первой скобке,
затем ~а, затем связка ~avb и наконец связка «<->».
Рис. 4.6
Окончательно, при любой комбинации значений истинности высказываний а и Ь (см. рис.
4.6, первые два столбца) высказывание (a-*b)<r*(~avb) всегда истинно.
Последовательность построения таблицы истинности высказывания ~((~а/\~Ь)/\(а\/с}),
состоящего из трех простых высказываний а, Ь, с, приведена на рис. 4.7.
Окончательно, высказывание ~((~а л ~Ь) л ( a v с) ложно только, когда а и Ъ ложны, но
с истинно; а в остальных случаях оно истинно.
Обратим внимание на то, что таблица истинности высказывания, состоящего из двух
простых: а и Ъ, содержала 22 = 4 строк — столько различных комбинаций значений
истинности двух простых высказываний; для высказывания, состоящего из трех простых:
а, Ъ, с, таблица содержала 23 = 8 строк — столько различных комбинаций значений
истинности трех высказываний. Для высказывания, состоящего из четырех простых,
таблица истинности будет содержать 24 = 16 строк и т.д.
Формально — логический анализ правовых норм позволяет в ряде случаев обнаружить
неясности, двусмысленности в их применении. Например, по ст. 112 УК РСФСР
«умышленное причинение телесного повреждения (=а) или нанесение побоев (=Ь),
повлекшее за собой кратковременное расстройство здоровья (=е) или незначительную
стойкую утрату трудоспособности (~d), наказывается лишением свободы на срок до
одного года (=е) или исправительными работами на этот же срок (=/)» возникают
следующие вопросы:
• союзы «или» между а и Ь, между с и d, между ew.f — это дизъюнкции в
неисключающем смысле или в исключающем? Если, например, союз «или» между ей/—
это дизъюнкция с не исключением, т.е. evf, то перечисленные в статье преступные
действия могут быть наказаны и лишением свободы и исправительными работами; если
же это дизъюнкция с исключением, т.е. evj, то используется только какой-то один вид
наказания;
• слово «повлекшее» стоит после высказывания Ъ и по правилам согласования должно
относиться только к Ъ; по содержанию же статьи это слово относится к обоим
перечисленным преступным действиям и следовательно надо писать «повлекшие...»; но с
другой стороны, если часть статьи, расположенную перед словом «повлекшее», заключить
в скобки, т.е. рассматривать как одно высказывание avb (или a v Ь), то неясности не
было бы.
142
Условимся, что в рассматриваемой статье первые два «или» — это дизъюнкция с
неисключением, а последнее «или» — с исключением и что часть статьи перед словом
«повлекшее» заключена в скобки. Тогда логическая формула статьи будет такой:
((av6)A(cv<sf))-»(ey./); формула содержит 6 компонент, ее таблица истинности будет со-
держать 26 = 64 строки.
Анализ приведенной статьи УК убеждает в необходимости использования
символического языка математической логики для уяснения смысла правовых контекстов,
для построения норм права, не допускающих двусмысленных толкований.