- •Множества. Операции над множествами.
- •Законы алгебры множеств.
- •Мощность множества. Теорема о числе подмножеств конечного множества.
- •Бинарные отношения и их типы
- •Отношение эквивалентности. Теорема о разбиении множества на классы.
- •Перестановки и сочетания
- •Формулы о подсчете числа подстановок из сочетаний с повторениями и без повторений.
- •Высказывания. Операции над высказываниями.
- •Булевы функции
- •12. Законы равносильности. Доказать законы Де Моргана.
- •13. Формулы алгебры логики, их классификация и примеры.
- •14. Алгоритмы определения типа формулы.
- •15. Двойственные формулы. Принцип двойственности.
- •20. Сднф и алгоритмы ее построения.
- •21. Скнф и алгоритмы ее построения.
- •22. Теорема о разложении.
- •23. Контактные схемы.
- •24. Логические схемы.
- •26.Область истенности булевой фун-ции. Покрытие обл. Заданной в днф.
- •27.Метод Блейка,Нельсона, графический метод.
- •28. Минимальная днф. Метод инпликантных матриц.
- •29.Сокращенная днф. Теорема о связи сднф и мднф.
- •30. Тупиковая днф. Теорема о связи тднф и мднф
- •31.Алгоритмпостроения тупиковой днф
- •41. Квантор общности. Теорема о применении квантора общности для предиката определенном на конечном множестве.
- •42. Квантор существования. Теорема о применении квантора существования для предиката определенного на конечном множестве.
- •43. Законы алгебры логики предикатов.
- •44. Тождественно истинные предикаты, примеры. Теорема о тождественно истинных предикатах.
- •45. Тождественно ложные предикаты и теорема о тождественно ложных предикатах.
- •46. Понятие следствия и равносильности предикатов, примеры.
- •47. Формулы алгебры логики предикатов и их классификация.
- •48. Законы Де Моргана для алгебры логики предикатов.
- •49. Закон пронесения квантора общности через конъюнкцию.
- •50. Закон пронесения квантора существования через дизъюнкцию.
- •51.Закон пронесения квантора общности и существования через импликацию.
- •53. Детерминированные функции и графическое изображение (примеры).
- •54. Ограничено-детерминированные функции.
- •55. Диаграммы Мура.
- •56. Канонические уравнения ограничено-детерминированных функций.
- •57. Машины Тьюринга.
- •58. Простейшие функции. Теорема о простейших функциях.
- •59. Операция примитивной рекурсии. Примитивно-рекурсивные функции. Примеры.
- •60. Операция минимизации. Рекурсивные функции.
- •61. Тезисы Тьюринга и Черча. Теорема о связи между рекурсивными функциями и функциями вычислимыми по Тьюрингу (без доказательства).
- •62. Графы. Способы задания графов.
- •63. Формула Эйлера.
- •64. Графы к3,3 и к5,5. Теорема.
- •65. Плоские графы. Теорема о плоских графах (без доказательства).
- •66. Эйлеровые графы. Теорема о Эйлеровых графах. Гамильтоновы графы.
- •67. Деревья. Теорема о деревьях (без доказательства).
- •68. Предмет теории кодирования, алфавитное кодирование.
- •69. Префиксный код. Теорема о префиксном коде.
- •70. Разделимый код. Теорема Маркова (без доказательства).
Множества. Операции над множествами.
Множество - это совокупность объектов, рассматриваемая как одно целое. Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами. Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. если каждый элемент множества A принадлежит B и, обратно, каждый элемент B принадлежит A. Тогда пишут A = B. Если каждый элемент множества A входит во множество B, то A называется подмножеством B, а B называется надмножеством A. Если каждый элемент множества A входит в B, но множество B содержит хотя бы один элемент, не входящий в A, то A называется собственным подмножеством B, а B - собственным надмножеством A. Объединением множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих по крайней мере одному из данных множеств. Пересечением множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих одновременно и A и B. Разностью множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих A и не принадлежащих B.
Законы алгебры множеств.
1.Коммуникативность объединения.
2. Ассоциативность объединения.
3. Дистрибутивность объединения относительно пересечения
4 Законы действия с пустым и универсальным множествами: ;
;
5. Закон идемпотентности объединения
6. Закон де Моргана
7. Закон поглощения
8. Закон склеивания
9. Закон двойного отрицания .
Мощность множества. Теорема о числе подмножеств конечного множества.
Мощность множества — это обобщение понятия количества (числа элементов множества), которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные. Другими словами мощность множества – это количество его элементов.
Теорема. Пусть дано мн-во А. Тогда число всех его подмножеств равно 2^n.
Док-во проведем методом мат. Индукции. При n=1 наша формула верна 2=2^1.
При n=k, 2^k. Посчитаем число всех подмножеств. Любое подмножество последний элемент a=k+1 либо содержит либо не содержит. Число всех подмножеств которые элемент a=k+1 не содержит равно числу всех подмножеств мн-ва а, а следовательно оно равно 2^k по предположению. А число всех подмножеств элементы которых k+1 равна, следовательно число всех подмножеств равна 2^k+2^k=2*2^k=2^(k+1).
Бинарные отношения и их типы
Бинарным отношением между элементами множества А называется любое подмножество из декартового произведения АхА.
Типы бинарных отношений. Бинарным отношением R между элементами множества А называется рефлексивным если для любого элемента а из А пара (а,а) принадлежит R. Симметричным – если из того, что пара (а,б) пренадлежит R следует, что пара (б,а) принадлежит R. Транзитивным – если из того что пара (а,б) и пара (а,с) принадлежит R следует что пара (а,с) принадлежит R.
Отношение эквивалентности. Теорема о разбиении множества на классы.
Бинарное отношение R называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Например отношение параллельности.
Теорема. Каждое множество А на котором задано отношение эквивалентности можно разбить на классы таким образом, что 2 элемента а и б попадают в один и тот же класс, когда пара (а,б) принадлежит R. Под разбиением множества А на классы мы понимаем совокупность не пустых подмножеств, которые обладают свойствами: 1) объединение. 2) попарно они не пересекаются.