9 Резонансные (колебательные) контуры

Колебательный контур – это линейная электрическая цепь, составленная из конденсатора и катушки индуктивности С их помощью решается одна из важнейших задач радиотехники – осуществление частотной селекции (избирательности). Из множества несущих частот различных радиостанций, поступающих в антенну радиоприемника, необходимо выбрать узкую полосу частот интересующей нас радиостанции.

Резонанас напряжений в последовательном контуре

На рис. 3.13 представлен последовательный колебательный контур, к которому подключен генератор гармонических сигналов , внутреннее сопротивление которого равно нулю.

Рис3.13. Последовательный контур с внешним генератором

На основании второго закона Кирхгофа запишем:

. (3.73)

Ток в контуре будет равен:

(3.74)

Входное сопротивление

. (3.75)

Реактивная составляющая входного сопротивления

. (3.76)

В зависимости от расстройки контура относительно резонансной частоты возможны три случая:

- при этом реактивная составляющая входного сопротивления носит индуктивный характер;

при этом реактивная составляющая входного сопротивления носит емкостный характер;

при этом реактивная составляющая входного сопротивления равна нулю. Реактивные сопротивления будут равны на резонансной частоте.

На резонансной частоте входное сопротивление контура равно активному сопротивлению и ток в контуре равен значению .

Эквивалентная схема контура при резонансе приведена на рисунке.

Рис. 3.14. Эквивалентная схема последовательного контура на

резонансной частоте.

Амплитуды напряжений на реактивных элементах на резонансной частоте равны по величине и противоположны по фазе. . (3.77)

Из этого выражения найдем резонансную частоту:

. (3.78)

Оценим величину отношения напряжений на реактивных элементах на резонансной частоте к напряжению внешнего генератора:

, (3.79)

. (3.80)

Таким образом, на резонансной частоте в последовательном контуре напряжения на реактивных элементах равны по абсолютной величине и в Q раз превышают напряжение внешнего генератора. Такой резонанс называется резонансом напряжений.

АЧХ последовательного контура.

Зависимость тока в контуре или напряжения на реактивных элементах от частоты питающего генератора при постоянном по величине напряжении генератора называется резонансной кривой или АЧХ контура.

Для сравнения различных контуров резонансные кривые строят в относительном масштабе. Амплитудно-частотная характеристика в относительном масштабе контура запишется как отношение тока в контуре на любой частоте к току в контуре на резонансной частоте:

= . (3.81)

Реактивная составляющая входного сопротивления контура равна:

(3.82)

Здесь

(3.83)

- относительная расстройка контура.

Для небольших абсолютных расстроек контура (в пределах полосы пропускания)

(3.84)

С учетом этого амплитудно-частотная характеристика контура

, (3.85)

где: - обобщенная расстройка контура.

Окончательно уравнение амплитудно-частотной характеристики контура запишется в виде:

. (3.86)

Фазовая характеристика контура

(3.87)

Рис.2.15 АЧХ последовательного контура

Найдем выражение для полосы пропускания колебательного контура. Полоса пропускания оценивается по уменьшению тока в контуре или напряжений на реактивных элементах в раз по сравнению с их значениями на резонансной частоте. Из формулы для АЧХ контура найдем полосу пропускания:

. (3.88)

Отсюда полоса пропускания контура на уровне будет равна:

(3.89)

Рис.3.16. Фазовая характеристика последовательного контура

Резонанс токов в параллельном колебательном контуре

Параллельный колебательный контур состоит из параллельно включенных катушки индуктивности и конденсатора, как показано на рис. 3.17. Активное сопротивление катушки индуктивности равно , а потери электромагнитной энергии в конденсаторе эквивалентны некоторому активному сопротивлению . Контур питается идеальным генератором тока.

Рис. 3.17. Параллельный колебательный контур.

Входное сопротивление контура равно:

. (3.92)

Для высокодобротных контуров в области резонансной частоты и . Учитывая это, можно записать:

(3.93)

где: ; .

Таким образом, входное сопротивление зависит от частоты. Токи в ветвях контура также зависят от частоты. На резонансной частоте сопротивление катушки индуктивности по модулю становится равным модулю сопротивления конденсатора и токи в ветвях контура будут равны по абсолютной величине и противоположны по фазе. При этом ток в общей ветви в случае идеального контура был бы равен 0. На резонансной частоте в контуре протекает ток

. (3.94)

Входное сопротивление контура при резонансе становится активным и равно:

(3.95)

Следовательно, ток в контуре на резонансной частоте равен:

(3.96)

Таким образом, токи в ветвях контура при резонансе в раз превышают ток внешнего генератора. Поэтому говорят, что в параллельном контуре имеет место резонанс токов.

Зависимость отношения амплитуды напряжения на контуре на текущей частоте к амплитуде напряжения на контуре на резонансной частоте от частоты называют АЧХ параллельного контура.

Запишем выражение для амплитудно-частотной характеристики параллельного контура:

(3.97)

. (3.101)

Таким образом, АЧХ параллельного и последовательного контуров описываются одним и тем же выражением.

Фазовая характеристика параллельного контура (рис. 2.18) построена на основании выражения

(3.102)

Рис. 3.18. Фазовая характеристика параллельного контура