- •01001 М. Київ, Хрещатик, 7/11
- •Розділ 1. Елементи лінійної алгебри
- •1.1. Елементи теорії матриць та визначників
- •1.1.1. Поняття матриці. Види матриць
- •Види матриць
- •1.1.2. Дії над матрицями
- •Властивості дій над матрицями
- •1.1.3. Визначники другого та третього порядків
- •1.1.4. Основні властивості визначників
- •1.1.5. Визначники -го порядку. Мінори та алгебраїчні доповнення
- •1.1.6. Обернена матриця
- •Алгоритм знаходження оберненої матриці
- •1.1.7. Ранг матриці
- •Властивості рангу матриці
- •Методи обчислення рангу матриці
- •Алгоритм знаходження рангу матриці
- •1.2.2. Метод Крамера розв'язування систем лінійних рівнянь
- •1.2.3. Матричний метод розв'язування систем лінійних рівнянь
- •1.2.4. Метод Гаусса розв'язування систем лінійних рівнянь
- •Алгоритм методу Гаусса
- •1.2.6.2. Модель Леонтьєва багатогалузевої економіки (балансовий аналіз)
- •Розділ 2. Аналітична геометрія. Векторна алгебра
- •2.1. Векторна алгебра
- •2.1.1. Векторні та скалярні величини. -вимірний вектор. Векторний простір
- •2.1.2. Різновиди векторів
- •2.1.3. Дії з векторами, заданими в координатній формі
- •Властивості скалярного добутку векторів:
- •2.1.4. Координати вектора. Довжина вектора. Кут між векторами
- •2.1.5. Лінійна залежність і незалежність векторів. Розкладання вектора за базисом
- •Алгоритм розкладу вектора за базисом
- •2.2. Лінії на площині
- •2.2.1. Прямокутна декартова система координат на площині та у просторі
- •2.2.2. Поняття рівняння лінії на площині. Види рівнянь прямої на площині
- •Види рівнянь прямоТ на площині
- •2.2.3. Кут між прямими
- •2.3. Лінії в просторі
- •23.1. Рівняння поверхні в просторі. Рівняння сфери
- •2.3.2. Види рівнянь площини
- •1. Загальне рівняння площини:
- •2.3.3. Відстань між двома точками в просторі. Відстань від точки до площини
- •23.4. Взаємне розміщений двох площин
- •2.3.5. Види рівнянь прямої у просторі
- •23.6. Взаємне розміщення двох прямих у просторі
- •2.3.7. Взаємне розміщення прямої і площини у просторі
- •2.4. Криві лінії другого порядку на площині
- •2.4.1. Коло та його рівняння
- •2.4.2. Еліпс та його рівняння
- •2.43. Гіпербола та її рівняння
- •2.4.4. Парабола та и рівнинна
- •3.1.2. Деякі елементарні функції та їх графіки. Способи задания функцій
- •3.1.3. Основні властивості функцій
- •3.1.4. Застосування функцій в економіці
- •3.23. Теореми иро границі
- •3.2.4. Приклади обчислення границь послідовностей
- •3.2.5. Поняття границі функції. Односторонні границі
- •3.2.6. Основні теореми про іраниці. Чудові границі
- •3.2.7. Прийоми обчислення границь функції
- •3.2.8. Неперервність функції. Основні поняття
- •3.2.9. Властивості неперервних функцій
- •3.2.10. Розриви функції та їх класифікація
- •3.2.11. Методика дослідження функції на неперервність
- •Розділ 4. Диференціальне числення функцій однієї змінної 4.1. Похідна функції
- •4.1.1. Поняття похідпої
- •4.1.2. Геометричішй та механічний зміст похідної
- •Фізичний зміст похідної
- •4.1.3. Похідні основних елементарних функцій
- •4.1.4. Основні правила диференціювання функцій, заданих аналітично
- •4.1.5. Похідні функцій, заданих неявно та параметрично
- •4.1.6. Похідні вищих порядків
- •4.2. Диференціал функції однієї змінної
- •4.2.1. Означення диференціала функції, його геометричний зміст
- •422. Диференціали вищих порядків
- •4.3.3. Зростання та спадання функції, достатня умова
- •4.3.4. Екстремуми функцій, необхідна та достатня умови
- •Необхідна умова екстремуму
- •43.5. Опуклість, угнутість кривих та точки перетну функції
- •Необхідна умова існування точки перегину
- •Алгоритм дослідження функції на опуклість, угнутість і точки перегину
- •4.3.6. Найбільше і найменше значення функції, неперервної на відрізку
- •Алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значень функції; неперервної на відрику
- •4.3.7. Асимптоти до кривої графіка функції
- •4.3.8. Загальна схема дослідження функції
- •4.4. Економічні приклади та задачі
- •4.4.1. Застосування похідної до задач економіки
- •Темп зростання функції
- •4.4.2. Економічний зміст похідної. Еластичність
- •4.4.3. Економічне застосування диференціала. Мультиплікатор
- •Література
Вища математика. Конспект лекцій. І частина / Укл • Остафійчук М.М. - К.: НМЦ "Укоопосвіта", 2006. - 94 с.
Укладач Остафійчук М.М. - старший викладач Івано- Франківського фінансово-комерційного кооперативного коледжу імені С. Граната
Рецензент Гой Т.П. - доцент кафедри математичного аналізу та прикладної математики Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника, кандидат фізико-математичних наук
Редактор Миненко Ю.В.
Коректор Мартинчук Н.А.
Техредактор Шульженко В.І.
© НМЦ "Укоопосвіта", 2006
Зауваження і пропозиції щодо конспекту лекцій просимо надсилати до Навчально-методичного центру Укоопспілки "Укоопосвіта"
Розповсюдження і тиражування без офіційного дозволу Навчально- методичного центру Укоопспічки "Укоопосвіта"заборонено
НМЦ Укоопспілки "Укоопосвіта", 2006
01001 М. Київ, Хрещатик, 7/11
Вступ
Навчальний посібник написано відповідно до навчальної програми з вищої математики, рекомендованої Міністерством освіти і науки України для вищих навчальних закладів І—II рівнів акредитації. Виклад теоретичного матеріалу супроводжується прикладами розв'язання як типових математичних задач, так і задач економічного змісту. Там, де це можливо, розкривається економічний зміст математичних понять, подаються простіші застосування вищої математики в економіці. Більшість математичних методів оформлені у вигляді алгоритмів, що значно спрощує розв'язання задач і полегшує засвоєння курсу.
Розділ 1. Елементи лінійної алгебри
1.1. Елементи теорії матриць та визначників
1.1.1. Поняття матриці. Види матриць
Прямокутна таблиця складена із довільного набору величин називається прямокутною матрицею Величини, з яких складається матриця, називаються елементами матриці Сукупність елементів, розміщених на горизонтальній (вертикальній) прямій складають рядок (стовпець) матриці.
Матриці позначаються великими латинськими літерами, а її елементи - малими латинськими з двома індексами, перший з яких вказує на номер рядка, а другий - на номер стовпця, на перетині яких цей елемент знаходиться.
Символічний добуток числа рядків на число стовпців називають розміром матриці і позначають .
- матриця розміру
Скорочене позначення матриці: .
Види матриць
1. Квадратна матриця - це матриця, в якій число рядків дорівнює числу стовпців. Кількість рядків ( стовпців ) квадратної матриці називається її порядком.
Наприклад, - матриця 3-го порядку.
Елементи складають головну діагональ матриці , а елементи утворюють побічну діагональ матриці.
2. Нульова (нуль-матриця) - це матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю.
3. Діагональна - це квадратна матриця, всі елементи якої, крім діагональних, дорівнюють нулю.
Наприклад,
діагональна матриця 3-го порядку.
4. Одинична - це діагональна матриця, всі елементи головної діагоналі якої дорівнюють одиниці (позначають Е).
- одинична матриця 3-го порядку.
5. Матриця-рядок (матриця-стовпець) - це матриця, яка складається з одного рядка (стовпця).
Наприклад, - матриця-рядок,
- матриця-стовпець.
6. Трикутна - це матриця, в якої елементи, розміщені під головною діагоналлю, дорівнюють нулю.
7. Якщо у матриці А замінити стовпці так, щоб 1 -й рядок став першим стовпцем, 2-й рядок став другим стовпцем і т. д., то дістанемо матрицю, яка називається транспонованою відносно матриці (позначається ).
- матриця, транспонована відносно
Перехід від до називається операцією транспонування.
1.1.2. Дії над матрицями
1. Додавання та віднімання матриць. Сумою (різницею) двох матриць і однакових розмірів називається матриця такого самого розміру, кожний елемент якої с дорівнює сумі (різниці) відповідних елементів матриць і , тобто
Приклад 1.1. Нехай
Знайти .
Розв'язання
2. Множення матриці на число. Добутком матриці
на число називається матриця , елементами якої є
добутки відповідних елементів даної матриці на число , тобто
Наприклад, якщо , то
3. Множення матриць. Добутком матриць і з розмірами відповідно і називається матриця
розміру , кожний елемент якої дорівнює сумі добутків
елементів і-то рядка матриці на відповідні елементи у'-го стовпця матриці , тобто
.
Множити можна тільки узгоджені матриці, тобто ті, де число стовпців першої з матриць дорівнює числу рядків другої. Матриця-добуток при цьому матиме стільки рядків, скільки було у першій матриці, і стільки стовпців, скільки їх було у другій матриці.
Приклад 1.2. Нехай
Знайти .
Розв'язання