Добавил:

anna4514793 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гомельский государственный университет им. Франциска Скорины

Предмет:

Математика

Файл:

топология / Топология 4. Непр. отобр..doc

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2019

Размер:

1.9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Примеры:

Любое аффинное преобразование есть непрерывное отображение. Действительно, искомое отображение задаётся формулами , где

. Очевидно - биекция и, кроме того, и непрерывны как аффинные отображения.

2. Тождественное отображение (любого топологического пространства) есть

гомеоморфизм.

Любая изометрия есть гомеоморфизм. В частности, любое изометричное вложение есть вложение топологическое.
Постоянное отображение , отображающее всё пространство в некоторую фиксированную точку непрерывно.
В пространстве всех вещественнозначных непрерывных функций , определённых на некотором множестве , отображение , определяемое (возведение функции в квадрат непрерывно на множестве всех ограниченных функций и разрывно на множестве всех неограниченных функций.
На множестве любая непрерывная функция является непрерывным отображением некоторого топологического подпространства в топологическое подпространство .
Если пространство дискретно, то любое отображение непрерывно.
В пространстве отображение , задаваемое по правилу является непрерывным.
Для любых , и - мерная сфера с выколотой точкой гомеоморфна пространству

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ.

Теорема 32. (Критерии непрерывности отображения). Для отображения эквивалентны следующие условия:

отображение непрерывно;
для любого открытого множества пространства прообраз открыт в ;
для любого замкнутого множества пространства прообраз замкнут в .

Замечание. Из теоремы 32 следует, что отображение непрерывно в том и только в том случае, когда топология сильнее топологии .

Теорема 33. Пусть - топологические пространства, и - некоторые отображения. Если отображения и непрерывны, то непрерывна и их композиция .

Теорема 34. Тождественное отображение любого топологического пространства непрерывно.

Теорема 35. Пусть - метрические пространства, хХ. Отображение непрерывно в точке тогда и только тогда, когда для любого шара с центром в точке существует шар с центром в точке х, образ которого содержится в первом шаре.

Теорема 36. Пусть - метрические пространства, . Отображение непрерывно в точке , если для любого существует , что для любой точки , такой что справедливо неравенство .

Теорема 37. Всякое открытое покрытие является фундаментальным.

Теорема 38. Всякое конечное замкнутое покрытие фундаментально.

Теорема 39. Отношение гомеоморфности топологических пространств является отношением эквивалентности.

Контрольные задания

1.1 а) Пусть - непрерывные отображения в естественной топологии на . Доказать, что отображение , где для всех , так же является непрерывным.

б) Будет ли непрерывным в естественной топологии, топологии Зоргенфрея, топологии Зарисского, дискретной топологии, антидискретной топологии и топологии стрелки на отображение

1.2 а) Пусть - непрерывные отображения в естественной топологии на . Доказать, что отображение так же является непрерывным.

1.3 а) Пусть - непрерывные отображения в естественной топологии на . Доказать, что отображение так же является непрерывным.

1.4 а) Пусть - непрерывное отображение в естественной топологии на . Доказать, что отображение так же является непрерывным.

1.5 а) Пусть - непрерывные отображения в естественной топологии на . Доказать, что отображение так же является непрерывным

1.6 а) Пусть - непрерывные отображения в естественной топологии на . Доказать, что отображение так же является непрерывным.

1.7 а) Пусть - непрерывные отображения в естественной топологии на . Доказать, что отображение так же является непрерывным.

1.8 а) Пусть и непрерывные отображения. Доказать, что непрерывна и их композиция .

1.9 а) Докажите, что отображение непрерывно тогда и только тогда , когда для любого открытого множества из .

1.10 а) Доказать , что для любого подмножества метрического пространства функция , определяемая формулой , непрерывно.

1.11 а) Пусть - база топологии пространства . Докажите, что отображение непрерывно тогда и только тогда, когда - открытое множество для каждого .

1.12 а) Дайте прямое описание непрерывных отображений стрелки в стрелку.

1.13 а) Докажите, что покрытие пространства фундаментально тогда и только тогда, когда для замкнутости множества достаточно, чтбы его пересечение с каждым множеством было замкнутым в .

1.14 а) Пусть , , .Тогда непрерывно тогда и только тогда, когда и непрерывны.

1.15 а) Доказать, что непрерывно тогда и только тогда, когда для любого открытого подмножества , открыто.

1.16 а) Пусть - непрерывное отображение в естественной топологии на . Доказать, что отображение является непрерывным.

1.17 а) Пусть - непрерывное отображение в естественной топологии на . Доказать, что отображение так же является непрерывным для некоторого действительного числа .

1.18 а) Пусть - непрерывное отображение в естественной топологии на . Доказать, что отображение так же является непрерывным.

1.19 а) Пусть - непрерывное отображение в естественной топологии на . Доказать, что отображение так же является непрерывным.

1.20 а) Пусть - непрерывное отображение в естественной топологии на . Доказать, что отображение так же является непрерывным.

1.21 а) Пусть - непрерывные отображения в естественной топологии на . Доказать, что отображение так же является непрерывным.

1.22 а) Доказать, что отображение является непрерывным в естественной топологии на .

1.23 а) Доказать, что отображение является непрерывным в естественной топологии на .

1.24 а) Доказать, что отображение является непрерывным в естественной топологии на .

1.25 а) Доказать, что отображение является непрерывным в естественной топологии на .

1.26 а) Доказать, что отображение является непрерывным в естественной топологии на .

1.27 а) Доказать, что отображение является непрерывным в естественной топологии на .

1.28 а) Доказать, что отображение является непрерывным в естественной топологии на .

1.29 а) Доказать, что отображение является непрерывным в естественной топологии на .

1.30 а) Доказать, что отображение является непрерывным в естественной топологии на .

а) Доказать, что отображение замкнуто тогда и только тогда, когда для любого подмножества из .

б) Доказать, что плоские фигуры и гомеоморфны (в рассматривается естественная топология).

, .

2.2 а) Пусть - отображение и , где - подпространство пространства . Показать, что, если непрерывно, то и непрерывно.

б) Доказать, что плоские фигуры и гомеоморфны(в рассматривается естественная топология).

, .

а) Пусть - отображение и , где - подпространство пространства . Показать, что, если открыто, то и открыто.

б) Доказать, что плоские фигуры и гомеоморфны в рассматривается естественная топология).

, .

а) Пусть - отображение и , где - подпространство пространства . Показать, что, если замкнуто, то и замкнуто.

б) Доказать, что плоские фигуры и гомеоморфны (в рассматривается естественная топология).

, .

2.5 а) Пусть непрерывное отображение топологического пространства в топологическое пространство и - подпространство пространства , а - сужение отображения на . Показать, что непрерывно.

б) Доказать, что плоские фигуры и гомеоморфны (в рассматривается естественная топология).

, .

а) Пусть непрерывное отображение топологического пространства в топологическое пространство и - подпространство пространства , а - сужение отображения на . Показать, что, если замкнуто в и замкнуто, то и замкнуто.

б) Доказать, что плоские фигуры и гомеоморфны (в рассматривается естественная топология).

, .

2.7 а) Пусть непрерывное отображение топологического пространства в топологическое пространство и - подпространство пространства , а - сужение отображения на . Показать, что, если открыто в и открыто, то и открыто.

б) Доказать, что плоские фигуры и гомеоморфны (в рассматривается естественная топология).

, .

2.8 а) Пусть отображение топологического пространства в топологическое пространство . Показать, что замкнуто тогда и только тогда, когда для любого подмножества из .

б) Доказать, что плоские фигуры и гомеоморфны (в рассматривается естественная топология).

, .

2.9 а) Доказать, что отображение , где , замкнуто тогда и только тогда, когда для любого открытого в множества множество открыто в .

б) Доказать, что плоские фигуры и гомеоморфны (в рассматривается естественная топология). , .

2.10 а) Показать, что, если - замкнутое отображение, , и - произвольное открытое множество , содержащее , то существует открытое в множество , для которого и .

б) Доказать, что плоские фигуры и гомеоморфны (в рассматривается естественная топология)., .

2.11 а) Доказать, что отображение , замкнуто тогда и только тогда, когда для любой точки и каждой окрестности точки существует такая окрестность точки , что .

б) Доказать, что плоские фигуры и гомеоморфны ( в рассматривается естественная топология).

, .

2.12 а) Доказать, что отображение , открыто тогда и только тогда, когда для любого множества имеет мечто включение .

б) Доказать, что плоские фигуры и гомеоморфны (в рассматривается естественная топология).

, .

2.13 а) Доказать, что отображение , открыто тогда и только тогда, когда для любого множества .

б) Доказать, что плоские фигуры и гомеоморфны (в рассматривается естественная топология).

, .

2.14 а) Показать, что композиция любого множества открытых отображений является открытым отображением.

б) Показать, что окружность гомеоморфна границе квадрата.

2.15 а) Показать, что, если открытое отображение и , , , то и отображение также открыто.

б) Показать, что полусфера без края гомеоморфна евклидовой плоскости.

2.16 а) Доказать, что сжимающее отображение непрерывно.

б) Доказать, что плоские фигуры и гомеоморфны (в рассматривается естественная топология).

, .

2.17 а) Доказать, что отображение метрического пространства на метрическое пространство непрерывно тогда и только тогда, когда для любой точки и любого множества таких, что , всегда .

б) Доказать, что плоские фигуры и гомеоморфны (в рассматривается естественная топология).

, .

2.18 а) Пусть - непрерывное отображение пространства в пространство . Доказать, что для каждого элемента некоторой базы пространства полный прообраз является открытым в множеством.

б) Доказать, что плоские фигуры и гомеоморфны в рассматривается естественная топология).

, .

2.19. а) Доказать, что пространство дискретно в том и только в том случае, Если все его отображения в топологические пространства непрерывны.

б) Доказать, что плоские фигуры и гомеоморфны (в рассматривается естественная топология).

, .

2.20 а) Доказать, что композиция замкнутых отображений есть замкнутое отображение.

б) Доказать, что плоские фигуры и гомеоморфны (в рассматривается естественная топология).

, .

2.21 а) Доказать, что каждое непрерывное замкнутое отображение является псевдооткрытым.

б) Доказать, что плоские фигуры и гомеоморфны (в рассматривается естественная топология).

, .

2.22 а) Доказать, что каждое непрерывное замкнутое отображение является факторным.

б) Доказать, что плоские фигуры и гомеоморфны (в рассматривается естественная топология).

, .

2.23 а) Доказать, что каждое непрерывное открытое отображение является псевдооткрытым.

б) Доказать, что плоские фигуры и гомеоморфны (в рассматривается естественная топология).

, .

2.24 а) Доказать, что отображение открыто тогда и только тогда, когда образ при каждого элемента некоторой базы пространства является открытым множеством в .

б) Доказать, что плоские фигуры и гомеоморфны (в рассматривается естественная топология). , .

2.25 а) Доказать, что отображение открыто тогда и только тогда, когда для любого множества .

б) Доказать, что плоские фигуры и гомеоморфны (в рассматривается естественная топология)., .

2.26 а) Доказать, что изометрическое отображение является гомеоморфизмом.

б) Доказать, что плоские фигуры и гомеоморфны ( в рассматривается естественная топология).

, .

2.27 а) Доказать, что непрерывное отображение , которое некоторое подпространство пространства псевдооткрыто отображает на все , является псевдооткрытым.

б) Доказать, что плоские фигуры и гомеоморфны (в рассматривается естественная топология).

, .

2.28 а) Доказать, что отображение , где , является факторным тогда и только тогда, когда для любого множества равносильны следующие условия: а) замкнуто в ; б) замкнуто в .

б) Доказать, что плоские фигуры и гомеоморфны (в рассматривается естественная топология).

, .

2.29 а) Доказать, что отображение , где , замкнуто тогда и только тогда, когда для любого открытого в множества множество открыто.

б) Доказать, что плоские фигуры и гомеоморфны (в рассматривается естественная топология).

, .

2.30 а) Показать, что, если замкнутое отображение, , и - произвольное открытое множество в , содержащее , то существует открытое в множество , для которого и .