Отделимость.

Важную роль среди топологических пространств занимают метризуемые пространства. В общем случае неметризуемые топологические пространства могут сильно отличаться по свойствам от метризуемых топологических пространств. Поэтому возникает задача нахождения дополнительных условий, налагаемых на топологическое пространство, которое делают “похожими” топологические пространства на метризуемые топологические пространства.

Топологическое свойство называется наследственным, если оно передается от пространства к его подпространствам, т.е. если из того, что пространство обладает этим свойством, следует, что любое подпространство пространства тоже им обладает.

Известно много аксиом отделимости. Ограничимся четырьмя наиболее важными.

Аксиома Т₀. Говорят, что топологическое пространство является - пространством (удовлетворяет аксиоме ) , если для любых двух различных точек данного пространства существует окрестность одной из этих точек, не содержащая другой точки.

Аксиома Т1. Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме отделимости, если каждая из любых двух различных точек пространства обладает окрестностью, не содержащей другую из этих точек.

Аксиома Т2. (Аксиома Хаусдорфа) Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет второй аксиоме отделимости, если две различные точки имеют непересекающиеся окрестности.

Аксиома Т3. Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет третьей аксиоме отделимости, если в нем любое замкнутое множество и любая не содержащаяся в этом множестве точка обладают непересекающимися окрестностями, т.е. если для любого замкнутого множества и любой точки существуют открытые множества , такие, что , .

Аксиома Т4. Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет четвертой аксиоме отделимости, если в нем любые два непересекающиеся замкнутые множества обладают непересекающимися окрестностями, т.е. если для любых замкнутых множеств , таких что существуют такие открытые множества , что и .

Пространство, удовлетворяющее аксиоме , называется - пространством.

Пространство, удовлетворяющее аксиоме , называется Хаусдорфовым.

Топологическое пространство называют регулярным, если оно удовлетворяют первой и третьей аксиомам отделимости.

Топологическое пространство называется нормальным, если оно удовлетворяет первой и четвертой аксиомам отделимости.

Пусть - последовательность точек топологического пространства . Точка называется ее пределом, если для любой окрестности точки существует такое число , что при всех . Говорят также, что последовательность стремится к при стремящемся к бесконечности.

Множеством совпадения отображений называется множество .

Точка называется неподвижной точкой отображения , если .

Точка называется точкой конденсации множества , если для любой окрестности точки множество несчетно.