Контрольные задания
1.1 а) Показать, что если и - связные подмножества пространства и , то - связно.
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.2 а) Показать, что компонента пространства замкнута в .
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.3 а) Показать, что любые две компоненты пространства или совпадают, или не пересекаются.
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.4 а) Показать, что множество всех компонент пространства его покрывают.
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.5 а) Доказать, что отрезок связен.
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.6 а) Показать, что множества и в естественной топологии на не гомеоморфны.
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.7 а) Показать, что множества и в естественной топологии на не гомеоморфны.
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.8 а) Показать, что множества и в естественной топологии на не гомеоморфны.
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.9 а) Доказать, что множество является вполне несвязным в естественной топологии на .
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.10 а) Доказать, что множество является вполне несвязным в топологии Зоргенфрея на .
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.11 а) Доказать, что множество является вполне несвязным в естественной топологии на .
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.12 а) Доказать, что множество является вполне несвязным в топологии Зоргенфрея на .
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.13 а) Доказать, что пространство линейно связно.
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.14 а) Доказать, что если - собственное непустое подмножество связного топологического пространства, то .
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.15 а) Пусть - связное множество пространства . Доказать связность .
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.16 а) Показать, что если и - связные подмножества пространства и, то - связно.
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.17 а) Показать, что пространство с антидискретной топологией связно.
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.18 а) Показать, что пространство с дискретной топологией связно тогда и только тогда, когда оно содержит не более одной точки.
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.19 а) Доказать, что топологическое пространство несвязно тогда и только тогда, когда существует такое непрерывное отображение , что .
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.20 а) Построить на числовой прямой два связных множества, таких, что их объединение было несвязным.
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.21 а) Построить на числовой прямой два связных множества, таких, что их пересечение было несвязным.
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.22 а) Показать, что открытый шар пространства - связное множество.
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.23 а) Пусть - последовательность связных множеств топологического пространства, для которых . Показать, что - связное множество.
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.24 а) Показать, что подмножество множества рациональных чисел в естественной топологии связно тогда и только тогда, когда оно одноточечно.
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.25 а) Показать, что две компоненты связности либо не пересекаются, либо совпадают.
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.26 а) Показать, что пространство связно тогда и только тогда, когда любая пара его точек лежит в некотором связном подмножестве.
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.27 а) Показать, что компоненты связности замкнуты.
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.28 а) Доказать, что непрерывный образ линейно связного пространства линейно связен.
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.29 а) Показать, что интервал - линейно связен.
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
1.30 а) Показать, что выпуклое подмножество евклидова пространства является линейно связным.
б) Являются ли множества связными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки,
2.1 а) Доказать, что компактное подмножество метрического пространства ограничено.
б) Являются ли множества из задания 1.б) компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.2 а) Доказать, что замкнутое подмножество компактного пространства компактно.
б) Являются ли множества из задания 1.б) компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
-
а) Доказать, что компактное подмножество метрического пространства ограничено.
б) Являются ли множества из задания 1.б) компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
-
а) Доказать, что компактное хаусдорфово пространство регулярно.
б) Являются ли множества из задания 1.б) компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.5 а) Показать, что метрическое пространство является компактным тогда и только тогда, когда из всякой последовательности его точек можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
б) Являются ли множества из задания 1.б) компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.6 а) Показать, что замкнутое подпространство компактного пространства компактно.
б) Являются ли множества из задания 1.б) компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.7 а) Показать, что метрическое пространство является компактным тогда и только тогда, когда всякая его убывающая последовательность непустых замкнутых множеств имеет непустое пересечение.
б) Являются ли множества из задания 1.б) компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.8 а) Показать, что любое компактное хаусдорфово пространство нормально.
б) Являются ли множества из задания 1.б) компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.9 а) Пусть ( с индуцированной из топологией) и . Показать, что не компактно.
б) Являются ли множества из задания 1.б) компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.10 а) Показать, что любое метризуемое компактное пространство сепарабельно.
б) Доказать, что множество всех неподвижных точек непрерывного отображения Хаусдорфова пространства в себя является замкнутым.
2.11 а) Пусть множества и компактны. Показать, что компактно и множество .
б) Являются ли множества из задания 1.б) компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.12 а) Доказать, что прямая не компактна.
б) Являются ли множества из задания 1.б) компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.13 а) Показать, что непрерывный образ компактного пространства компактен.
б) Являются ли множества из задания 1.б) компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.14 а) Сохраняется ли при непрерывном отображении нормальность топологических пространств.
б) Являются ли множества из задания 1.б) компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.15 а) Сохраняется ли при непрерывном отображении нормальность, если - непрерывное сюръективное отображение, переводящее каждое замкну-тое множество в замкнутое.
б) Являются ли множества из задания 1.б) компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.16 а) Доказать, что дискретная топология компактна на множестве тогда и только тогда, когда конечно.
б) Являются ли множества из задания 1.б) компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.17 а) Доказать, что бесконечное множество с дискретной топологией некомпактно.
б) Являются ли множества из задания 1.б) компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
-
а) Доказать, что бесконечное множество с дискретной топологией локально компактно.
б) Являются ли множества из задания 1.б) компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.19 а) Пусть - компактное топологическое пространство, и - непересекающиеся замкнутые множества в .Доказать, что существуют такие открытые множества в , содержащие и , которые не пересекаются.
б) Являются ли множества из задания 1.б) компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.20 а) Пусть - компактное пространство и - непрерывное отображение. Показать, что отображение ограничено и достигает на своего наибольшего и наименьшего значений.
б) Являются ли множества из задания 1.б) компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.21 а) Показать, что если подмножество компактно, а хаусдорфово, то - замкнуто.
б) Являются ли множества из задания 1.б) компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.22 а) Показать, что компактное хаусдорфово пространство нормально.
б) Являются ли множества из задания 1.б) компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.23 а) Привести пример компактного множества, замыкание которого некомпактно.
б) Являются ли множества из задания 1.б) компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.24 а) Показать, что компактное множество всегда замкнуто.
б) Являются ли множества из задания 1.б) компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.25 а) Показать, что компактное множество всегда ограничено.
б) Доказать, что множество всех неподвижных точек непрерывного отображения Хаусдорфова пространства в себя является замкнутым.
2.26 а) Показать, что множество в естественной топологии на является компактным.
б) Являются ли множества из задания 1.б) компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.27 а) Доказать, что всякое замкнутое подмножество компактного множества является компактным.
б) Являются ли множества из задания 1.б) компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.28 а) Пусть множества и метрического пространства компактны. Доказать, что тогда из того, что следует .
б) Являются ли множества из задания 1.б) компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.29 а) Доказать, что любое непрывное взаимнооднозначное отображение, определенное на компактном множестве является гомеоморфизмом.
б) Являются ли множества из задания 1.б) компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.30 а) Показать, что прообраз компактного множества при непрерывном отображении может не быть компактным.
б) Являются ли множества из задания 1.б) компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.