- •Глава 12. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра
- •12.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
- •Интегралы, зависящие от параметра
- •9.5.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Рассмотрим следующий интеграл:
- •9.6.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Пусть функция определена на множестве . Будем рассматривать интегралы вида:
Глава 12. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра
12.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Определение 5 . Пусть функция определена на промежутке и интегрируема по Риману на любом отрезке .Если существует (конечный) предел
,
то его называют несобственным интегралом и обозначают
.
Таким образом
(30)
В этом случае говорят также, что несобственный интеграл (30) сходится на промежутке , а функция называется интегрируемой (в несобственном смысле) на промежутке . Если же предел не существует, то говорят, что интеграл расходится.
Замечание 1. Если , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно, т.к. то и существуют одновременно.
Замечание 2. Если имеет первообразную на промежутке , то
Замечание 3. Очевидно, что выполняется свойство линейности
, если интегралы и существуют.
Аналогично определяются несобственные интегралы .
Поэтому дальше будем рассматривать только интеграл (30).
Теорема 27. (Критерий Коши). Для того, чтобы несобственный интеграл (30) был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы
□ Сходимость интеграла существованию конечного предела . Но в силу критерия Коши для функции при для существования предела необходимо и достаточно, чтобы
Тогда последнее неравенство можно переписать и виде:
■ Теорема 28. (Признак сравнения). Пусть
а) и определены на , интегрируемы на ;
б) при ;
в) несобственный интеграл – сходится.
Тогда сходится и .
Т.к. сходится, то по теореме 27 выполняется: ,
Тогда проверим критерий Коши для :
■
Определение 6. Несобственный интеграл (30) называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл
(31)
Если интеграл (30) сходится, а (31) расходится, то говорят, что интеграл (30) сходится условно. Из теоремы ясно, что если (30) абсолютно сходится, то и просто сходится.
Теорема 29. (Основной критерий сходимости). Пусть при , тогда для сходимости интеграла (25) необходимо и достаточно, чтобы . (32)
Функция неубывает при , т.к. по условию . Поэтому для сходимости интеграла (30) , т.е. для существования предела необходимо и достаточно, чтобы была ограничена сверху, т.е. при ■
Теорема 30. Пусть и возрастающая последовательность, сходящаяся к , тогда чтобы для сходимости интеграла (1), необходимо и достаточно, чтобы сходился числовой ряд
. (33)
Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда (33). Очевидно, что
Последовательность неубывает, т.к. при и .
Т.к. , то .
Тогда (34)
Если (30) сходится, то в силу предыдущей теоремы выполняется неравенство (32). Из неравенств (32) и (34) следует, что при . Поскольку неубывающая последовательность, то она сходится ряд (33) сходится.
Если ряд (33) сходится, то последовательность его частичных сумм ограничена сверху . Очевидно и из (34) что (32) выполняется при . В силу теоремы 28 интеграл (30) сходится. ■
Теорема 31. (Интегральный признак сходимости числового ряда). Пусть невозрастающая положительная функция, определенная при ( –натуральное число). Тогда ряд
(35)
и интеграл сходятся или расходятся одновременно.
В силу условий теоремы при . Интегрируя неравенство почленно на отрезке , получим .
Из этих неравенств, в силу признака сравнения для числового ряда следует, что ряд (35) сходится или расходится одновременно с рядом .
С другой стороны, в силу теоремы (28) ряд сходится или расходится одновременно с интегралом . ■
Сформулируем теорему, которая позволяет в некоторых случаях установить условную сходимость несобственных интегралов.
Теорема 32. (Признак Дирихле). Пусть выполняются следующие условия:
а) Функция интегрируемая по Риману на любом отрезке
б) ;
в) Функция при непрерывно дифференцируемая и монотонно убывая при . Тогда – сходится.
Рассмотрим . По условию теоремы ограничена , т.е. (из условия (а)). Заметим, что .
По формуле интегрирования по частям, имеем:
. (36)
Рассмотрим интеграл в правой части и оценим, учитывая, что по условию (в) монотонно убывает, а следовательно .
Следовательно, из теоремы 28 несобственный интеграл сходится абсолютно, а значит и просто сходится. Следовательно, существует конечный предел .Т.к. и при , то .
С ледовательно, в правой части (36) пределы всех слагаемых. ■
Пример38. , т. е. данный интеграл сходится.
Пример 39. , но придел функции при не существует, следовательно, интеграл расходится.
Пример 40. ; интеграл расходится, так как
.
Пример 41. , – некоторое число.
Если α≠1, то для любого
Если , то для любого
.
Таким образом, данный интеграл сходится при и расходится при .
Заметим, что в рассмотренных примерах вычисление несобственного интеграла было основано на его определении. Теперь воспользуемся признаками сходимости.
Пример 42. Исследовать сходимость .
□ Сравним подынтегральную функцию с функцией на промежутке . Очевидно, что
.
Но интеграл сходится, так как . Следовательно, согласно признаку сравнения сходится и данный интеграл. ■
Пример 43. Исследовать сходимость .
□ Сравнивая подынтегральную функцию , с функцией на промежутке , имеем
.
Но интеграл расходится, так как (пример 39). Следовательно, согласно признаку сравнения и данный интеграл расходится.■
Пример 44. Интеграл по признаку Дирихле сходится, т.к.: а) , б) непрерывно дифференцируемая и монотонно убывает при .Но он сходится условно. Рассмотрим ряд , где .
Ряд расходится, т.к. . Но ряд – расходится. Отсюда в силу теоремы 29 интеграл – расходится.
Заметим, что если функцию доопределить в точке единицей, т.е. , то она будет непрерывна на . Тогда также сходится условно.
Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Определение 7. Пусть определена на промежутке , неограниченна на этом промежутке и интегрируема по Риману на . Если конечный предел , то его называют несобственным интегралом и обозначается (37)
Говорят также, что несобственный интеграл (37) сходится на отрезке , а называют интегрируемой в несобственном смысле на . Если предел (37) не существует, то говорят, что интеграл расходится.
Замечания. 1) Если , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно, т.к. , то пределы и существуют одновременно.
Формулу (37) иногда записывают в виде
Если имеет первообразную на , то
Аналогично определяется несобственный интеграл , если определена на , неограниченна на нем и интегрируемая .
.
Если определена на и сходятся и , то полагают по определению
.
Имеют место следующие теоремы, которые доказываются также, как соответствующие теоремы для несобственных интегралов с бесконечными пределами.
Теорема 33. (Критерий Коши). Для того чтобы несобственный интеграл (37) был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы
Теорема 34. (Признак сравнения). Пусть и несобственный интеграл сходится, тогда сходится и интеграл .
Из этой теоремы следует, что если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.
Теорема 35. Пусть , тогда для сходимости интеграла (7) необходимо и достаточно, чтобы существовало такое , что при имело место неравенство, т.е.
.
Пример 45. , – некоторое число.
Если , то
Если , то
.
Ясно, что при этот интеграл существует как интеграл Римана, при он сходится, а при расходится.
Понятие главного значения несобственного интеграл. Пусть определена на всей числовой прямой и интегрируема по Риману на любом отрезке .
Определение 8. Главным значением несобственного интеграла с пределами называется предел (если он существует)
Пример 46. Легко проверить, что расходится. Найдем главное значение.
Определение 9. Пусть определена на кроме того и интегрируема на любом отрезке и
Главным значением несобственного интеграла от разрывной в точке функции называется предел
Пример 47. Интеграл – расходится, но