Міністерство освіти і науки України
Полтавський державний педагогічний університет імені В.Г. Короленка
Фізико-математичний факультет
Кафедра математики
Проективна геометрія і методи зображень Індивідуальні завдання
МОДУЛЬ А
(рік навчання 2, семестр1)
для студентів ІІ курсу
напряму підготовки 6.040201 „Математика”
Полтава – 2009
ЗАВДАННЯ ДЛЯ ІНДИВІДУАЛЬНОЇ РОБОТИ
МОДУЛЬ А
(рік навчання 2, семестр 1)
ЗАВДАННЯ № 1
Проективний простір. Квадрики на проективній площині
Розв’яжіть задачі варіанту, визначеного для Вас викладачем.
Варіант |
Номери задач |
|||
1 |
1 |
11 |
21 |
31 |
2 |
2 |
12 |
22 |
32 |
3 |
3 |
13 |
23 |
33 |
4 |
4 |
14 |
24 |
34 |
5 |
5 |
15 |
25 |
35 |
6 |
6 |
16 |
26 |
36 |
7 |
7 |
17 |
27 |
37 |
8 |
8 |
18 |
28 |
38 |
9 |
9 |
19 |
29 |
39 |
10 |
10 |
20 |
30 |
40 |
11 |
1 |
11 |
21 |
31 |
12 |
2 |
12 |
22 |
32 |
13 |
3 |
13 |
23 |
33 |
14 |
4 |
14 |
24 |
34 |
15 |
5 |
15 |
25 |
35 |
16 |
6 |
16 |
26 |
36 |
17 |
7 |
17 |
27 |
37 |
18 |
8 |
18 |
28 |
38 |
19 |
9 |
19 |
29 |
39 |
20 |
10 |
20 |
30 |
40 |
21 |
1 |
11 |
21 |
31 |
22 |
2 |
12 |
22 |
32 |
23 |
3 |
13 |
23 |
33 |
24 |
4 |
14 |
24 |
34 |
25 |
5 |
15 |
25 |
35 |
26 |
6 |
16 |
26 |
36 |
27 |
7 |
17 |
27 |
37 |
28 |
8 |
18 |
28 |
38 |
29 |
9 |
19 |
29 |
39 |
30 |
10 |
20 |
30 |
40 |
Проективне відображення прямої d на пряму d' задане трьома парами відповідних точок А і А', В і В', С і С. Побудувати образ і прообраз спільної точки В цих прямих.
Виконати малюнок до теореми Дезарга, якщо пряма Дезарга є невласною.
Користуючись теоремою Дезарга, довести, що медіани трикутника перетинаються в одній точці.
Проективне відображення пучків з центрами О і О' задане трьома парами відповідних прямих а і а', b і b', с і с'. Побудувати образ і прообраз прямої ОО'.
Прямі а і b перетинаються в точці К, прямі с і п — в точці М, причому точки К i М — недоступні. Користуючись теоремою Дезарга, побудувати доступну частину прямої КМ.
На розширеній площині задане проективне відображення прямої d на пряму d' трьома парами відповідних точок А i А',В' i В',С і С'. Побудуйте образ невласної точки прямої d.
Дано точку Р і дві прямі а і b, що перетинаються в недоступній точці Q . Побудувати доступну частину прямої РQ, використовуючи теорему Дезарга.
Дано конфігурацію Дезарга: S- дезаргова точка, АВС і А'В'С — дезаргові тривершинники, UVW — дезаргова пряма. Прийнявши точку В за дезаргову точку, знайти дезаргові тривершинники та дезаргову пряму.
Проективне перетворення прямої d задане трьома парами відповідних прямих А i А',В i В',С і С. Побудувати образ точки В цієї прямої.
Користуючись теоремою Дезарга, побудувати пряму, що проходить через дану точку паралельно до двох даних паралельних прямих.
На проективній площині задано репер R. Побудувати пряму
2х1+x2+3х3=0.
У даному репері R на розширеній площині точки А1 та Е - невласні. Побудувати точки С(2; 3; 0) та М(3;-1;2).
У даному репері R на проективній площині побудувати точки М(2;0;5) та N(1;-4;3).
У даному репері на розширеній площині точка А2 — невласна. Побудувати пряму х1-2х2+x3=0.
У даному репері R на розширеній площині точка Е — невласна. Побудувати пряму x1-x2+4x3=0.
Дано точки А1, А2, А3 проективного репера R і точку М(2; 2; 3). Побудувати одиничну точку Е репера R.
Дано репер R проективної площини. Побудувати пряму МN, що проходить через точки М(2; 0; 5), N(1; -2; 2).
У даному репері R на розширеній площині точки А1 і А3 — невласні. Побудувати точки К(2: 0; 1) та М(4; -1; 1).
Дано точки А1, А2, А3 проективного репера R площини і точку К(-1;2;-1). Побудувати одиничну точку Е цього репера.
У даному репері R на розширеній площині точка А1 — невласна. Побудувати точки К(0; 1;2) і М(2; -3; 1).
Дано відрізок АВ та його середину. Користуючись лише лінійкою, побудувати відрізок довжиною 3АВ.
Дано відрізок АВ і пряму т, паралельну до АВ. Користуючись тільки лінійкою, поділити АВ на три рівні частини.
На прямій дано точки А, В, С. Побудувати точку D таку, що (АВ,СD)=2.
Дано координати точок проективної площини А(3; 1; -1), B(3; 4; 5), С(5; -1; -7). Перевірити, що ці точки лежать на одній прямій та знайти координати точки D такої, що (AВ,СD) = -1.
Довести, що прямі а і b та дві прямі, що поділяють пополам кути між ними, утворюють гармонічну четвірку.
Довести, що кінці відрізка розширеної прямої гармонічно розділяються серединою відрізка і невласною точкою цієї прямої.
На прямій дано точки А, В, С. Побудувати точку D цієї прямої таку, що (АВ, СD) = -2.
Дано відрізок АВ і пряму k, паралельну до АВ. Побудувати відрізок довжиною 4АВ, користуючись лише лінійкою.
Довести, що бісектриси зовнішнього і внутрішнього кутів при вершині А трикутника АВС гармонічно розділяють сторони АВ і АС.
Дано відрізок АВ і його середину. Користуючись лише лінійкою, поділити АВ на три рівні частини.
Дано асимптоти гіперболи і точку А цієї кривої. Побудувати ще одну точку гіперболи.
Дано п’ять дотичних а, b, с, d, e до овальної кривої другого порядку. Побудувати точку дотику прямої а.
Дано асимптоти гіперболи і точку А цієї кривої. Побудувати дотичну до гіперболи в точці А.
Дано три дотичні а, b, с до овальної кривої другого порядку та точки дотику А і В перших двох дотичних. Побудувати ще одну дотичну до цієї кривої.
Дано три точки А, В, С овальної кривої другого порядку та дотичні в точках А і В. Побудувати дотичну в точці С.
Дано чотири точки А, В, С, D овальної кривої другого порядку, дотичну в точці А і пряму СМ. Побудувати точку перетину прямої СМ із кривою.
Дано чотири дотичні а, b, с, d до овальної кривої другого порядку і точку дотику А прямої а. Побудувати ще одну точку цієї кривої.
Дано відрізки АВ і СВ — спряжені діаметри еліпса і пряму СМ. Побудувати точку перетину еліпса з прямою СМ.
Дано три точки А, В, С овальної кривої другого порядку та дотичні в точках А і В. Побудувати ще одну точку цієї кривої.
Дано п'ять дотичних до овальної кривої другого порядку та точку М на одній iз них. Через точку М провести дотичну до кривої.