- •§ 1.4 Закони динаміки. Поняття маси, сили, імпульсу, імпульсу сили. Інерціальні системи відліку
- •§ 1.5. Імпульс системи. Закон збереження імпульсу
- •§ 1.6. Центр мас (інерції) системи. Закон руху центра мас
- •§ 1.7. Межі застосування класичного опису частинок
- •§ 1.8. Основний закон динаміки поступального руху твердого тіла
- •§ 1.9. Динаміка обертального руху твердого тіла відносно осі. Поняття моменту інерції, моменту сили та моменту імпульсу твердого тіла
- •§ 1.10. Закон збереження моменту імпульсу твердого тіла відносно осі
- •§ 1.11. Поняття енергії і роботи. Робота сили. Потужність
- •§ 1.12. Кінетична енергія. Теорема про зміну кінетичної енергії
- •13. Внутрішня енергія ідеального газу. Теплоємності ідеального газу.
- •13.1. Середня кінетична енергія молекул. Внутрішня енергія ідеального газу
- •13.2. Теплоємність газів. Недоліки класичної теорії теплоємностей
- •14. Адіабатний процес та його рівняння. Робота в адіабатному процесі.
- •14.1. Адіабатичний процес. Рівняння Пуасона
- •15. Схема теплової машини та її ккд. Цикл Карно. Елементарне кількісне формування другого закону термодинаміки.
- •15.1. Цикл Карно. Максимальний ккд теплової машини
- •15.2. Друге начало термодинаміки. Нерівність Клаузіуса
- •16. Закон Кулона для взаємодії точкових електричних зарядів. Напруженість електричного поля. Принцип супер позиції.
- •17. Робота сил електричного поля. Теорема про циркуляцію вектора напруженості електричного поля. Потенціал
- •18. Конденсатори. Електроємність конденсатора. З’єднання конденсаторів
- •20. Закон Ома для неоднорідної ділянки кола і для повного кола
- •21. Магнітне поле і його характеристики. Дія магнітного поля на контур зі струмом. Принцип суперпозиції. Класифікація магнетиків
- •22. Дія магнітного поля на струм; сила Ампера. Магнітна взаємодія струмів
- •24.Гармонічні коливання. Диференціальне рівняння гармонічних коливань та його розв’язок. Амплітуда, фаза, частота, період коливань
- •5.4. Енергія гармонічних коливань
- •29. Інтерференція світла
- •Застосування
- •30. Дифракція Френеля
- •Принцип Гюйненса-Френеля
- •Метод зон френеля
- •31. Дифракція Фраунгофера на щиліни та решітці
- •32. Природне та поляризоване світло
- •Закон Малюса
- •Закон Брюстера
- •33. Теплове випромінювання. Закони випромінювання абсолютно чорного тіла та їх пояснення. Гіпотеза Планка.
- •38. Будова ядра. Дефект маси та енергія зв’язку ядра. Ядерні сили.
- •Дефект маси та енергія зв’язку ядра. Ядерні сили
- •39. Радіоактивність. Закон радіоактивного розпаду.
1.
Скалярну величину, яка рівна довжині траєкторії називають шляхом. Вектор, що з’єднує початкове положення матеріальної точки з її положенням в даний момент часу називають вектором переміщення .
. (1.3)
Швидкість – це векторна величина, яка характеризує зміну радіуса-вектора рухомої точки з часом. Вектор середньої швидкості рівний відношенню приросту радіуса-вектора рухомої точки до часу , за який він відбувся
. (1.4)
Якщо перейти до границі при , то отримаємо вираз для миттєвої швидкості
. (1.5)
Таким чином, миттєва швидкість – це швидкість в даний момент часу або в даній точці траєкторії. Вектор миттєвої швидкості дорівнює першій похідній радіуса-вектора рухомої точки по часу і напрямлений вздовж дотичної до траєкторії в будь-якій її точці. Врахувавши, що при , отримаємо:
. (1.6)
В загальному випадку з (1.6) випливає, що шлях може бути обчислений за формулою
. (1.7)
Середнє прискорення рівне відношенню зміни швидкості до проміжку часу, за який вона відбулася
. (1.11)
Миттєве прискорення – це прискорення в даний момент часу і воно визначається як границя до якої прямує середнє значення прискорення, якщо проміжок часу прямує до нуля
Рис.1.2
. (1.12)Таким чином, миттєве прискорення дорівнює першій похідній швидкості по часу або другій похідній радіуса-вектора по часу.
(1.16)
Знайдемо миттєве прискорення матеріальної точки, скориставшись формулами
. (1.17)
О
Рис.1.3
тже, повне прискорення рівне сумі нормального і тангенціального прискорень. Нормальне прискорення характеризує зміну швидкості за напрямком і напрямлене вздовж радіуса до центра кривизни траєкторії. Тангенціальне прискорення характеризує зміну швидкості за модулем і напрямлене вздовж дотичної до траєкторії. Числові значення цих прискорень рівні(1.18)
та . (1.19)
З рис.1.3 маємо
(1.20)
та . (1.21)
Рівномірний рух — механічний рух, під час якого тіло за однакові проміжки часу проходить однаковий шлях.
Одним із видів рівномірного руху є рівномірний прямолінійний рух, інший — рівномірне обертання, тобто обертання із сталою кутовою швидкістю. Швидкість рівномірного руху — фізична величина яка дорівнює відношенню переміщення до часу протягом якого це відбувається.
2.
Градієнт швидкості матеріальної точки з часом t характеризують прискоренням
Прискорення вимірюється в метрах на секунду в квадраті (СІ) та сантиметрах на секунду в квадраті (СГС).
П ри прямолінійному русі вектор швидкості напрямлений вздовж однієї й тієї самої прямої — траєкторії, внаслідок чого напрям вектора а збігається з напрямом вектора або протилежний до нього. Якщо а збігається за напрямом з о, то швидкість збільшується, і рух буде прискореним. Якщо а протилежне за напрямом до v, то швидкість зменшується, і рух буде сповільненим.
Прямолінійний рух із сталим прискоренням називають рівнозмінним. В залежності від зміни швидкості в часі розрізняють рівномірно прискорений та рівномірно сповільнений рухи. При рівнозмінному прямолінійному русі справедлива формула
де — швидкість у момент часу t; — швидкість в початковий момент часу (при t = 0); — прискорення. При цьому вектори , , напрямлені вздовж однієї прямої.
Визначимо прискорення точки у випадку її руху по криволінійній траєкторії (рис. 1.2). Нехай в момент часу t точка знаходилась в положенні А, а в момент часу t + ∆t — в положенні В. Швидкості та в точках А і В напрямлені по дотичних до траєкторії в цих точках. Перенесемо вектор в точку А. Зміна швидкості за проміжок часу ∆t визначиться вектором . З рис. 1.2 бачимо, що або . Тоді прискорення в точці А запишемо так:
Вектор - називають нормальним прискоренням, а вектор - тангенціальним. Прискорення п перпендикулярне до вектора швидкості і завжди напрямлене до центра кривизни. Звідси й назва цього вектора — нормальний (тобто перпендикулярний).
Визначимо модуль нормального прискорення. Як видно з рис. 1.2, для малого кута ∆α можна записати
Тоді
Отже, модуль п в деякій точці траєкторії дорівнює відношенню квадрата швидкості до радіуса кривизни траєкторії в цій самій точці: ап = = v2/R.
Якщо на нормалі до траєкторії відкласти в точці А одиничний вектор , що напрямлений до центра кривизни, то вектор нормального прискорення можна записати так:
Розглянемо тепер вектор тангенціального прискорення
Зазначимо, що модуль вектора дорівнює за абсолютною величиною різниці модулів та (рис. 1.2). Тоді
Відповідно тангенціальне прискорення або .
Отже, значення тангенціального прискорення дорівнює першій похідній від швидкості за часом або другій похідній від шляху. Напрям вектора визначається напрямом вектора , якого він набуває в граничному випадку, коли ∆t→0. Неважко побачити, що в граничному випадку вектор напрямлений по дотичній до траєкторії в точці А. Звідси і назва цього вектора — тангенціальний (дотичний). Якщо ввести одиничний вектор т, дотичний до траєкторії і напрямлений в бік руху точки, можна вектор тангенціального прискорення записати так:
Вектор вказує на те, як змінюється швидкість за величиною, а вектор п характеризує зміну швидкості за напрямом. Отже, для повного прискорення запишемо
Модуль вектора загального прискорення знайдемо із співвідношення
3
Рис.1.4
.Нехай матеріальна точка рухається по коловій траєкторії радіусом R з центром в т.0. За час радіус-вектор точки повернеться на деякий кут (рис. 1.4). Кутовою швидкістю називають величину, яка є першою похідною кута повороту радіуса-вектора по часу
. (1.22)
Кутова швидкість – це вектор, напрям якого визначається за правилом свердлика.
Крім кутової швидкості, рух тіла по колу ще описують лінійною швидкістю, яка рівна відношенню довжини дуги, що її описує кінець радіуса-вектора, до часу, за який вона пройдена.
. (1.23)
Лінійна швидкість напрямлена по дотичній до дуги кола в кожній її точці. При рівномірному русі по колу використовують поняття періода Т та частоти . Період – це час одного повного оберту, а частота – кількість обертів за одиницю часу. Кутову та лінійну швидкості можна виразити через період або частоту
(1.24)
та . (1.25)
Звідси або . (1.26)
У векторній формі (1.27)
Кутове прискорення рівне першій похідній кутової швидкості по часу
Рис.1.5
. (1.28)В
Рис.1.6
ектор кутового прискорення напрямлений вздовж вісі обертання і співпадає з напрямком , якщо кутова швидкість зростає, і протилежний до напрямку , якщо кутова швидкість зменшується (рис.1.5).Продиференціювавши вираз (1.27) по t і пам’ятаючи, що матеріальна точка рухається по колу (рис.1.6), тобто , отримаємо
Оскільки то . (1.29)
4.
Динаміка – це розділ механіки, в якому вивчають механічний рух з врахуванням діючих сил. В основі динаміки лежать закони Ньютона, які є результатом багатовікового досвіду.
Перший закон Ньютона: існують такі системи відліку в яких матеріальна точка (тіло) перебуває в стані спокою або рухається рівномірно і прямолінійно доти, поки дія з боку інших тіл не змусить її змінити цей стан.
Перший закон Ньютона називають законом інерції, а системи відліку, відносно яких виконується даний закон – інерціальними системами відліку. Якщо відома хоча б одна інерціальна система відліку, то всі інші системи відліку, які перебувають відносно неї в спокої або рухаються рівномірно і прямолінійно теж будуть інерціальними. Дослідним шляхом встановлено, що інерціальною системою відліку можна вважати систему відліку зв’язану з Сонцем.
Властивість тіла зберігати стан спокою або рівномірного прямолінійного руху без дії на нього інших тіл називають інертністю. Фізичну величину, яка є мірою інертності тіла, називають інертною масою. Разом з тим маса тіла характеризує здатність його взаємодіяти з іншими тілами згідно з законом всесвітнього тяжіння. В цьому випадку маса є мірою гравітаційної взаємодії і її називають гравітаційною масою. В сучасній фізиці з високою точністю встановлено, що інертна та гравітаційні маси рівні між собою для швидкостей значно менших від швидкості світла. Отже, маса – це міра інертних і гравітаційних властивостей тіла.
Сила – це векторна величина, яка є мірою взаємодії між тілами внаслідок чого тіла отримують прискорення або змінюють свою форму та розміри.
Другий закон Ньютона: прискорення, що його набуває матеріальна точка (тіло), прямо пропорційне рівнодійній всіх діючих сил, співпадає з нею за напрямком і обернено пропорційне масі матеріальної точки (тіла)
. (1.30)
При розв’язуванні задач часто використовують таку форму запису:
. (1.31)
Добуток маси матеріальної точки на її швидкість називають імпульсом матеріальної точки
. (1.32)
Підставивши (1.32) в (1.31), отримаємо більш загальний вираз для другого закону Ньютона
. (1.33)
Останнє співвідношення можна сформулювати так: швидкість зміни імпульсу матеріальної точки рівна рівнодійній всіх діючих на неї сил.
Добуток сили на час її дії називають імпульсом сили. Переписавши (1.33) у вигляді
, (1.34)
отримаємо: зміна імпульсу тіла рівна імпульсу сили.
Третій закон Ньютона: сили, з якими взаємодіють дві матеріальні точки, рівні за модулем і протилежні за напрямком, діючи вздовж прямої, що з’єднує ці матеріальні точки
. (1.35)
де – сила, що діє на перше тіло з боку другого , а – сила, що діє на друге тіло з боку першого.
Ці сили прикладені до різних тіл, тому не врівноважують одна одну. Третій закон динаміки справедливий лише в випадку контактних взаємодій, тобто при безпосередньому дотику та при взаємодії на відстані між нерухомими тілами.
Імпульс системи. Закон збереження імпульсу
Розглянемо деяку сукупність матеріальних точок, яку називають механічною системою. Сили, з якими окремі елементи системи взаємодіють між собою, називають внутрішніми силами, а сили, з якими на елементи системи діють зовнішні тіла, називають зовнішніми.
Запишемо другий закон Ньютона у вигляді (1.33) для кожного з n елементів (матеріальних точок) системи
(1.36)
де – внутрішня сила взаємодії і-ої та k-ої точок системи, – сумарна зовнішня сила, що діє на і-ту точку системи.
Знайдемо суму лівих і правих частин рівностей (1.36), врахувавши, що
або . (1.37)
Якщо система буде замкнутою, тобто матеріальні точки (елементи) системи взаємодіють тільки між собою, то , а це означає, що
. (1.38)
Отже, в замкнутій системі сума імпульсів всіх матеріальних точок (елементів) системи є величина стала – закон збереження імпульсу.
Отримати замкнуту систему важко, але можна досягнути рівності нулю суми проекцій зовнішніх сил на деякий напрям або вісь.
Закон збереження імпульсу справедливий не тільки в класичній механіці, але і для замкнутої системи мікрочастинок. Тому він є фундаментальним законом природи. Він є наслідком властивості симетрії простору – його однорідності.
§ 1.4 Закони динаміки. Поняття маси, сили, імпульсу, імпульсу сили. Інерціальні системи відліку
Динаміка – це розділ механіки, в якому вивчають механічний рух з врахуванням діючих сил. В основі динаміки лежать закони Ньютона, які є результатом багатовікового досвіду.
Перший закон Ньютона: існують такі системи відліку в яких матеріальна точка (тіло) перебуває в стані спокою або рухається рівномірно і прямолінійно доти, поки дія з боку інших тіл не змусить її змінити цей стан.
Перший закон Ньютона називають законом інерції, а системи відліку, відносно яких виконується даний закон – інерціальними системами відліку. Якщо відома хоча б одна інерціальна система відліку, то всі інші системи відліку, які перебувають відносно неї в спокої або рухаються рівномірно і прямолінійно теж будуть інерціальними. Дослідним шляхом встановлено, що інерціальною системою відліку можна вважати систему відліку зв’язану з Сонцем.
Властивість тіла зберігати стан спокою або рівномірного прямолінійного руху без дії на нього інших тіл називають інертністю. Фізичну величину, яка є мірою інертності тіла, називають інертною масою. Разом з тим маса тіла характеризує здатність його взаємодіяти з іншими тілами згідно з законом всесвітнього тяжіння. В цьому випадку маса є мірою гравітаційної взаємодії і її називають гравітаційною масою. В сучасній фізиці з високою точністю встановлено, що інертна та гравітаційні маси рівні між собою для швидкостей значно менших від швидкості світла. Отже, маса – це міра інертних і гравітаційних властивостей тіла.
Сила – це векторна величина, яка є мірою взаємодії між тілами внаслідок чого тіла отримують прискорення або змінюють свою форму та розміри.
Другий закон Ньютона: прискорення, що його набуває матеріальна точка (тіло), прямо пропорційне рівнодійній всіх діючих сил, співпадає з нею за напрямком і обернено пропорційне масі матеріальної точки (тіла)
. (1.30)
При розв’язуванні задач часто використовують таку форму запису:
. (1.31)
Добуток маси матеріальної точки на її швидкість називають імпульсом матеріальної точки
. (1.32)
Підставивши (1.32) в (1.31), отримаємо більш загальний вираз для другого закону Ньютона
. (1.33)
Останнє співвідношення можна сформулювати так: швидкість зміни імпульсу матеріальної точки рівна рівнодійній всіх діючих на неї сил.
Добуток сили на час її дії називають імпульсом сили. Переписавши (1.33) у вигляді
, (1.34)
отримаємо: зміна імпульсу тіла рівна імпульсу сили.
Третій закон Ньютона: сили, з якими взаємодіють дві матеріальні точки, рівні за модулем і протилежні за напрямком, діючи вздовж прямої, що з’єднує ці матеріальні точки
. (1.35)
де – сила, що діє на перше тіло з боку другого , а – сила, що діє на друге тіло з боку першого.
Ці сили прикладені до різних тіл, тому не врівноважують одна одну. Третій закон динаміки справедливий лише в випадку контактних взаємодій, тобто при безпосередньому дотику та при взаємодії на відстані між нерухомими тілами.
§ 1.5. Імпульс системи. Закон збереження імпульсу
Розглянемо деяку сукупність матеріальних точок, яку називають механічною системою. Сили, з якими окремі елементи системи взаємодіють між собою, називають внутрішніми силами, а сили, з якими на елементи системи діють зовнішні тіла, називають зовнішніми.
Запишемо другий закон Ньютона у вигляді (1.33) для кожного з n елементів (матеріальних точок) системи
Отже, в замкнутій системі сума імпульсів всіх матеріальних точок (елементів) системи є величина стала – закон збереження імпульсу.
Отримати замкнуту систему важко, але можна досягнути рівності нулю суми проекцій зовнішніх сил на деякий напрям або вісь.
Закон збереження імпульсу справедливий не тільки в класичній механіці, але і для замкнутої системи мікрочастинок. Тому він є фундаментальним законом природи. Він є наслідком властивості симетрії простору – його однорідності.