- •§ 1 Топология п.1 Пространство
- •П.2 Открытые и замкнутые множества в метрическом пространстве
- •§ 2 Функции многих переменных п.1 Предел функции многих переменных
- •П.2 Непрерывность функции многих переменных
- •П.3 Свойства непрерывных функций
- •§ 3 Дифференцируемость функций многих переменных п.1 Частные производные
- •П.2 Дифференцируемость функций многих переменных
- •П.7 Касательная плоскость к графику функции двух переменных. Геометрический смысл дифференциала
- •П.8 Производная по направлению. Градиент
- •П.9 Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •П.10 Формула Тейлора для функций нескольких переменных
- •§ 4 Неявные функции п.1 Определения
- •П.2 Существование, непрерывность и дифференцируемость неявной функции
- •П.3 Неявная функция нескольких переменных
- •§ 5 Локальный экстремум функции нескольких переменных п.1 Определения
- •П.2 Некоторые сведения о квадратичных формах
- •П.3 Достаточные условия локального экстремума
- •§ 6 Условный экстремум п.1 Определения
- •П.2 Прямой метод отыскания точек условного экстремума
- •П.3 Метод множителей Лагранжа
- •Алгоритм нахождения точек условного экстремума методом Лагранжа
§ 1 Топология п.1 Пространство
. Множество X называется метрическим пространством или пространством с расстоянием, если каждой паре элементов поставлено в соответствие число , называемое расстоянием между х и y, такое, что выполняются условия:
1) ,
2) ,
3) (неравенство треугольника).
Пример 1) – пространство всевозможных упорядоченных пар действительных чисел, расстояние ;
2) пространство – пространство всевозможных упорядоченных наборов из n чисел. Если , то расстояние . Пространство является метрическим.
. Пусть – последовательность точек из . Говорят, что последователь-ность сходится к точке а и пишут , если , т.е. .
. Шаром (открытым шаром) в с центром в точке а радиуса r называется множество .
. Последовательность точек называется ограниченной, если она содержится в некотором шаре, т.е. и .
Лемма 1 Последовательность точек метрического пространства , где сходится к пределу тогда, и только тогда, когда существуют все , .
Доказательство следует из неравенства
.
Если при , то и , и обратно ■
Лемма 2 Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Доказательство. Пусть , т.е. . Тогда числовая последовательность ограничена. Тогда
■
Лемма 3 Если последовательность сходится, то её предел – единственен.
Доказательство. Допустим, и . В силу неравенства треугольника, . Т.к и , то . Значит, ■
. Последовательность точек метрического пространства Х фундаментальной, если
.
Лемма В пространстве последовательность сходится тогда, и только тогда, когда она фундаментальна.
П.2 Открытые и замкнутые множества в метрическом пространстве
. Точка называется внутренней точкой для множества М, если она принадлежит этому множеству вместе с некоторым шаром с центром в этой точке, т.е. .
. Совокупность всех внутренних точек множества М называется внутренностью множества М и обозначается .
. Если все точки множества М являются внутренними, то множество М называется открытым.
Пустое множество Ø считается открытым, по определению.
Теорема 1) Всё пространство Х – открытое множество. 2) Объединение любого количества открытых множеств есть открытое множество. 3) Пресечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество.
. Окрестностью точки будем называть любое открытое множество, содержащее точку .
Например, шар является окрестностью точки .
. Точка называется предельной точкой множества М, если в любой окрестности точки есть точки множества М, отличные от точки .
. Множество называется замкнутым, если дополнение его является открытым.
Утверждение Множество М замкнуто тогда, и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки. (Доказательство от противного)
Теорема 1) Всё пространство Х и пустое множество Ø – замкнуты.
2) Пересечение любого количества замкнутых множеств есть замкнутое множество. 3) Объединение конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.
. Замыканием множества М называется объединение множества М со всеми своими предельными точками. Обозначается .
. Множество называется компактным, если оно замкнуто и ограничено.
. Точка а называется граничной точкой множества М, если в любой окрестности точки а есть как точки, принадлежащие М, так и точки, не принадлежащие М.
Совокупность всех граничных точек множества М называется границей множества М и обозначается .