ТЕОРИЯ СИСТЕМ и СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ

Качественная оценка согласованности мнений экспертов, определяемая на основе коэффициента конкордации K, приведена в табл. 2.5.

Парное сравнение. Этот метод представляет собой процедуру установления предпочтения объектов при сравнении всех возможных пар. Результаты сравнения всех пар объектов удобно представлять в виде матрицы с булевыми значениями:

значениями можно определить ранги объектов. Сумма элементов матрицы по строке даст ранг объекта в порядке увеличения предпочтения (самый худший объект получит ранг 1, самый лучший – максимальный ранг), сумма элементов матрицы по столбцу – ранг объекта в порядке убывания предпочтения. Например, суммирование по строкам матрицы, приведенной в табл. 2.6, дает следующие ранги: r1 = 5, r2 = 1, r3 = 3, r4 = 2,

r5 = 4.

Если имеется несколько экспертов, то каждый из экспертов строит свою матрицу парных сравнений. Для построения обобщенной матрицы чаще всего используют метод нахождения медианы. При этом вводится понятие расстояния между матрицами, которое определяется числом поразрядных несовпадений всех значений элементов матрицы (метрика Хэмминга). Медианой называют матрицу, сумма расстояний от которой до всех матриц, построенных экспертами, является минимальной. В [38]

71

например: «отлично» – 1,0; «очень хорошо» – 0,75; «хорошо» – 0,625; «удовлетворительно» – 0,5; «посредственно» – 0,25; «неудовлетворительно» – 0.

В случае групповой экспертизы обобщенные оценки объектов строятся на основе применения методов осреднения. Например, обобщенная оценка ai объекта xi может вычисляться по формуле среднего арифмети-

пертом, m – количество экспертов.

При вычислении обобщенной оценки может быть учтена компетентность экспертов. В этом случае вводятся коэффициенты компетентности экспертов kj – числа в интервале [0, 1]. Причем сумма коэффициентов

m

должна быть равна 1: k j 1. Обобщенная оценка в этом случае опре-

j 1

m

деляется по формуле ai k j aij .

j 1

Коэффициенты компетентности могут быть определены методом непосредственной оценки.

Последовательное сравнение (метод Черчмена – Акоффа). Дан-

ный метод представляет собой комплексную процедуру измерения, включающую как ранжирование, так и непосредственную оценку. При последовательном сравнении эксперт выполняет следующие операции:

1)осуществляет ранжирование объектов;

2)производит непосредственную оценку объектов на отрезке [0,1], полагая, что чем предпочтительнее объект xi, тем больше его числовая

оценка q(xi ) ;

3) решает, будет ли первый объект превосходить по предпочтительности все остальные объекты вместе взятые. Если да, то эксперт увеличивает значение числовой оценки первого объекта так, чтобы она стала

m

больше суммы числовых оценок остальных объектов: q(x1) q(xi ) . В

i 2

противном случае он изменяет величину q(x1) так, чтобы она стала

меньше, чем сумма оценок остальных объектов; 4) решает, будет ли второй объект предпочтительнее, чем все после-

дующие вместе взятые объекты, и изменяет q(x2 ) так же, как это описано для q(x1) в пункте 3;

73

5) продолжает операцию сравнения предпочтительности последующих объектов и изменяет числовые оценки этих объектов в зависимости от своего решения о предпочтительности.

Методы интеграции измерений (свертки). Имеется конечное чис-

ло объектов X {x1, xn}, сравниваемых по множеству частных признаков (критериев) q1, qm . Для каждого объекта определены значения частных критериев: q1(xi ), qm (xi ), i 1, n . Это могут быть как экспертные

оценки (в случае групповой экспертизы используются обобщенные оценки), так и результаты объективных измерений. Необходимо определить интегральные оценки объектов qˆ(xi ), i 1, n . Оценки по интегральному

критерию зависят от значений частных критериев, т. е. являются их функцией:

qˆ(xi ) f (q1(xi ), qm (xi )), i 1, n .

В случае если частные критерии имеют различную размерность (измеряются в различных шкалах), предварительно необходимо нормировать значения частных критериев, т. е. привести их к одному масштабу. Большинство способов свертки предполагают, что значения должны быть представлены в шкале, по типу являющейся шкалой отношений. Для нормирования абсолютные «натуральные» значения критериев переводятся в относительные безразмерные значения, Чаще всего используется отно-

шение абсолютного значения критерия q j ab (xi ) к некоторому норми-

рующему значению q j et («идеальному», эталонному, максимальному),

измеренному в тех же единицах:

q j (xi ) q j ab (xi ) / q j et .

Например, чтобы нормировать рост человека, измеренный в метрах, можно поделить его на нормирующий показатель, равный максимальному росту (допустим, 2.5 м). Тогда росту 1.5 м будет соответствовать нормированное значение 0.6, росту 1.8 м – 0.72.

Вкачестве нормирующего значения может выступать сумма нормируемых значений по всем сравниваемым объектам. Например, нормирование объемов производства различных цехов предприятия может осуществляться путем вычисления соответствующих долей в общем объеме производства.

Вслучае, когда чем меньше значение критерия, тем оно должно оцениваться выше, используется отношение разницы между максимальным и

74

абсолютным значением к разнице между минимальным и максимальным значениями:

q j (xi ) (q j max q j ab (xi )) /(q j max q j min ) ,

где q j min q j max – соответственно минимальное и максимальное значения

j-го критерия.

Иногда для нормирования используются так называемые «приростные» показатели. В этом случае находится доля прироста – отношение

разницы между текущим значением показателя q jt (xi ) и некоторым ба-

зовым значением q j b (xi ) к базовому значению:

q j (xi ) (q jt (xi ) q jb (xi ))/ q jb (xi ) .

При этом значения, выходящие за рамки интервала [0;1] обрезаются (значение, превышающее единицу, приравнивается к 1, отрицательное значение считается равным 0). В случае если не увеличение, а снижение значения показателя оценивается как положительная тенденция, определяется не прирост, а убыль текущего значения по отношению к базовому.

Этот способ нормирования чаще всего используют при оценке динамики изменения состояния системы во времени. Текущим считается состояние в настоящий момент времени, базовым – состояние в некоторый предыдущий момент времени.

Перейдем к рассмотрению собственно методов интеграции измерений. Используется два основных способа – свертка (аддитивная или мультипликативная) частных критериев и метод идеальной точки.

Аддитивная свертка частных критериев. Значение интегрального критерия определяется как сумма значений частных критериев, поделенная на количество частных критериев:

1 m

qˆ(xi ) q j (xi ), i 1, n .

mj 1

Вслучае если частные критерии имеют различную важность (вес), вместо формулы среднеарифметического для определения значения интегрального критерия используют средневзвешенное арифметическое:

m

qˆ(xi ) v j q j (xi ), i 1, n ,

j 1

75

где vj – вес j-го критерия, отражающий вклад частного критерия в интегральный. Это число в интервале [0, 1]. Причем сумма весовых коэффи-

m

циентов всех частных критериев должна быть равна 1: v j 1.

j 1

Для определения весовых коэффициентов может быть использован метод непосредственной оценки. Если оценка производится по 5- (10- ,100- ...) балльной шкале, то для нормирования можно использовать отношение к сумме баллов по всем критериям.

Иногда используют методы ранжирования. В частности, для опреде-

m

j (m 1 rj ) / ri (если наилучший критерий имеет ранг 1).

i 1

Однако этот способ позволяет определять веса весьма приблизительно. Рассмотрим пример. Пусть при оценивании степени важности четырех критериев эксперты присвоили методом непосредственной оценки следующие значения весовых коэффициентов: v1 = 0.15, v2 = 0.23, v3 = 0.27, v4

= 0.35 (0.15 + 0.23 + 0.27 + 0.35 = 1). При ранжировании критериев полу-

чим ранги: r1 = 4, r2 = 3, r3 = 2, r4 = 1. Сумма рангов равна 10. Значения весовых коэффициентов, вычисленные на основе рангов, будут следующи-

ми: v1 = (4 + 1 – 4)/10 = 0.1, v2 = (4 + 1 – 3)/10 = 0.2, v3 = (4 + 1 – 2)/10 = 0.3, v4 = (4 + 1 – 1)/10 = 0.4. Эти значения отличаются от весов, полученных

методом непосредственной оценки.

Мультипликативная свертка частных критериев. Если частные критерии имеют одинаковый вес, значение интегрального критерия определяется по формуле среднегеометрического

m

qˆ(xi ) m q j (xi ), i 1, n .

j 1

Если же частные критерии имеют различную важность, то определяется средневзвешенное геометрическое

qˆ(x ) m q (x )v j , i 1, n .

i j i j 1

Как и в случае аддитивной свертки, сумма весовых коэффициентов должна быть равна 1.

76

Основным недостатком методов свертки является то, что низкие значения по одним критериям компенсируются высокими значениями по другим. Если же требуется обеспечить равномерное подтягивание всех показателей к наилучшему уровню (к «идеалу»), то используется метод идеальной точки.

Метод идеальной точки. Прежде всего, необходимо задать идеальную точку x0, т. е. объект с наилучшими значениями по всем критериям. Для этого по каждому из частных критериев qj необходимо определить

наилучшее значение qj(x0). Как правило, q j (x0 ) max q j (xi ) .

i

Значение интегрального критерия для объекта xi определяется через евклидовое расстояние между ним и идеальной точкой x0 по всем частным критериям:

Наилучшим является объект, имеющий минимальное значение критерия.

В случае различной важности частных критериев используется взвешенная сумма расстояний

Если оценки объектов по частным критериям получены в порядковой (ранговой) шкале измерений, то расстояние между точками xi и x0 определяется по формулам:

Первая формула используется, если критерии имеют одинаковый вес, вторая – если разный.

Существуют и различные модификации метода идеальной точки. В частности, расстояния по каждому из частных критериев не суммируются, а находится максимальное отклонение

qˆ(xi ) max v j (q j (x0 ) q j (xi ))2 , i 1, n .

j

Наилучшим считается объект, у которого максимальное отклонение минимально. Этот критерий позволяет «отбраковывать» альтернативы с большими отклонениями по отдельным критериям.

77

Рассмотрим пример. В табл. 2.7 приведены результаты измерения трех фирм-конкурентов Ф1, Ф2, Ф3 по трем частным критериям – «Стоимость продукции», «Время изготовления» и «Качество продукции», а также максимальные (max) и минимальные (min) значения критериев и их оценки важности (вес).

Таблица 2.7

Вычислим значения интегральных критериев с помощью аддитивной, мультипликативной свертки и метода идеальной точки.

Поскольку критерии имеют различную размерность, необходимо нормировать результаты измерений. При выборе способа нормирования по критерию стоимости нужно учесть, что чем меньше стоимость, тем оценка должна быть выше. Поэтому следует использовать отношение разницы между максимальным и абсолютным значением к разнице между минимальным и максимальным значениями:

для Ф1 – (900 – 700) / (900 – 100) = 200 / 800 = 0.25; для Ф2 – (900 – 300) / (900 – 100) = 600 / 800 = 0.75; для Ф3 – (900 – 500) / (900 – 100) = 400 / 800 = 0.5.

По критерию времени нормирование осуществляется аналогично:

для Ф1 – (56 – 32) / (56 – 16) = 24 / 40 = 0.6; для Ф2 – (56 – 24) / (56 – 16) = 32 / 40 = 0.8; для Ф3 – (56 – 48) / (56 – 16) = 8 / 40 = 0.2.

Для нормирования по критерию «Качество продукции» используем отношение к максимальному значению: для Ф1 – 80/100 = 0.8; для Ф2 – 50/100 = 0.5; для Ф3 – 75/100 = 0.75.

Значения интегрального критерия по формуле аддитивной свертки:

для Ф1 – 0.25·0.5 + 0.6·0.3 + 0.8·0.2 = 0.125 + 0.18 + 0.16 = 0.465; для Ф2 – 0.75·0.5 + 0.8·0.3 + 0.5·0.2 = 0.375 + 0.24 + 0.1 = 0.715; для Ф3 – 0.5·0.5 + 0.2·0.3 + 0.75·0.2 = 0.25 + 0.06 + 0.15 = 0.46.

По формуле мультипликативной свертки получим следующие значе-

ния интегрального критерия:

для Ф1 – 0.250.5 · 0.60.3 · 0.80.2 = 0.5 · 0.858 · 0.956 = 0.41; для Ф2 – 0.750.5 · 0.80.3 · 0.50.2 = 0.866 · 0.935 · 0.87 = 0.704; для Ф3 – 0.50.5· 0.20.3· 0.750.2 = 0.71 · 0.617 · 0.944 = 0.4135.

78

Наконец, по методу идеальной точки получим следующие значения:

для Ф1 – 0.5 (1 0.25)2 0.3 (1 0.6)2 0.2 (1 0.8)2 = 0.64;

для Ф2 – 0.5 (1 0.75)2 0.3 (1 0.8)2 0.2 (1 0.5)2 = 0.3;

для Ф3 – 0.5 (1 0.5)2 0.3 (1 0.2)2 0.2 (1 0.75)2 = 0.57.

Как видим, наилучшее значение интегрального критерия по всем трем методам получила фирма Ф2. По методу аддитивной свертки на втором месте оказалась фирма Ф1, на третьем – Ф3. Методы мультипликативной свертки и идеальной точки дали несколько другой результат: второе место заняла фирма Ф3, а третье – Ф1.

2.3.3. Методы измерений/оценки в условиях неопределенности

Виды неопределенности. В процессе моделирования происходит отображение реальной ситуации на некоторый формализованный язык. В случае, когда отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между объектами отображаемой реальности и объектами языка, имеет место моделирование в условиях определенности. В противном случае говорят о наличии неопределенности. Виды неопределенности можно представить с помощью дерева (рис. 2.13) [39].

Рис. 2.13. Виды неопределенности

79

Первый уровень дерева образован терминами, качественно характеризующими количество отсутствующей информации.

В случае неизвестности информация практически отсутствует. Это, как правило, бывает на начальной стадии изучения ситуации.

Недостоверность присутствует, когда информация собрана не полностью или собранная информация характеризует объекты реальности приблизительно (неадекватно). Наличие этого вида неопределенности связано либо с тем, что процесс сбора информации временно приостановлен, либо с нехваткой ресурсов, выделенных для сбора информации.

Неопределенность типа неоднозначности имеет место, когда вся возможная информация собрана, однако полностью определенное описание не получено и не может быть получено [39].

Второй уровень дерева описывает источники (причины) неоднозначности, которыми являются внешняя среда (физическая неопределенность) или используемый исследователем профессиональный язык (лингвисти-

ческая неопределенность).

Физическая неопределенность типа случайности (стохастическая неопределенность) связана с наличием во внешней среде нескольких возможностей, каждая из которых случайным образом становится действительностью. Другим видом физической неопределенности является неточность, которая связана с неточностью измерений вполне определенной величины, выполняемых физическими приборами [39].

Лингвистическая неопределенность связана с использованием естественного языка. Она обусловлена необходимостью оперировать конечным числом слов и ограниченным числом структур фраз для описания бесконечного множества разнообразных ситуаций. Лингвистическая неопределенность порождается, с одной стороны, неопределенностью значений слов (понятий и отношений) языка, которую условно называют по-

лисемией, а, с другой стороны, неоднозначностью смысла фраз.

Можно выделить два вида полисемии: омонимия и нечеткость. Если отображаемые одним и тем же словом объекты существенно различны, то соответствующую ситуацию относят к омонимии. Например, словом «коса» обозначают такие разные объекты, как вид побережья, сельскохозяйственный инструмент, вид прически. Полисемия типа нечеткости имеет место, когда применение того или иного слова для отображения объектов неоднозначно. Например, рост 177 см можно обозначить словом «высокий», а можно – словом «средний».

Неоднозначность смысла фраз может быть синтаксической, семантической и прагматической. В первом случае уточнение синтаксиса позволяет понять смысл фразы. Например, правильная расстановка знаков

80