- •Введение
- •Лабораторная работа 1
- •Примеры решения задач
- •Лабораторная работа 2
- •Лабораторная работа 3
- •Примеры решения задач
- •Задания лабораторной работы
- •Лабораторная работа 4
- •Примеры решения задач
- •Лабораторная работа 5
- •Примеры решения задач
- •Лабораторная работа 6
- •Примеры решения задач
- •Лабораторная работа 7
- •Примеры решения задач
- •Лабораторная работа 9 Обратные операторы Примеры решения задач
- •Литература
- •246019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
А. Р. МИРОТИН, Ж. Н. КУЛЬБАКОВА
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Лабораторный практикум
для студентов математического факультета
специальности 1-31 03 01 Математика
Гомель 2009
УДК 517 (075.08)
ББК 22.11 я 73
М 644
Рецензенты:
Ю. В. Малинковский, профессор, доктор физико-математических наук;
В. Н. Семенчук, профессор, доктор физико-математических наук.
Рекомендовано к изданию научно-методическим советом учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»
Миротин, А. Р.
М 644 Функциональный анализ и интегральные уравнения: лабораторный практикум:
для студентов математического факультета специальности 1-31 03 01 Математика / А. Р. Миротин, Ж. Н. Кульбакова; М-во образования РБ, Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины. – Гомель : ГГУ им. Ф. Скорины, 2009. 60 с.
Практическое пособие подготовлено в соответствии с программой курса «Функциональный анализ и интегральные уравнения» для студентов специальности 1-31 03 01 Математика. Оно содержит решения типовых примеров и задания лабораторных работ.
УДК 517517 (075.08)
ББК 22.11 я 73
© А. Р. Миротин, Ж. Н. Кульбакова, 2009
© УО «ГГУ им. Ф. Скорины», 2009
Введение
Учебная программа курса «Функциональный анализ и интегральные уравнения» предполагает в качестве формы контроля знаний выполнение лабораторных работ. Целью этих работ является закрепление теоретического материала путем самостоятельного решения задач. Настоящее пособие призвано оказать помощь студентам в овладении основными приемами и методами решения задач по функциональному анализу. Оно содержит задания лабораторных работ 5 семестра, взятые из пособия [3], а также примеры решения типовых задач. При этом важно отметить следующее:
– каждая лабораторная работа рассчитана на 4 – 6 часов аудиторных занятий (в зависимости от ее объема). На первом занятии обсуждаются узловые вопросы темы, а второе (и третье) отводятся для завершения работы и защиты отчета;
– задание каждой лабораторной работы, как правило, выполняется группой из 2 – 3 человек;
– лабораторная работа засчитывается, если должное владение материалом продемонстрировали все члены группы;
– количество защищенных лабораторных работ учитывается на экзамене в рамках рейтинговой накопительной системы оценки знаний студента.
Отчет по лабораторной работе должен быть оформлен в соответствии со следующими требованиями:
– он выполняется письменно каждым членом группы в специальной тетради;
– решение каждой задачи должно быть подробно обосновано и содержать ссылки на все используемые определения и теоремы.
Лабораторная работа 1
Метрические пространства. Сходящиеся
последовательности в метрических пространствах
Примеры решения задач
Задача 1 Проверить, сходится ли заданная последовательность xn точек метрического
пространства X к точке a.
Пример 1 xn = , a = |t| , X = C[-4;4].
Решение. Рассмотрим расстояние ρC(xn , a)= | xn(t) – a(t) |. Так как при всех
|xn(t) – a(t)| = | – |t|| = – |t| = = 0
при n , то ρC(xn,a) . Значит, xn сходится к a в C[-4;4].
Пример 2 xn(t) = t n - t n+1 + t, a(t) = t, X = C[0;1].
Решение. Рассмотрим ρC(xn , a) = |t n - t n+1|. Обозначим tn - tn+1 через Δn(t) и найдем наибольшее значение функции |Δn(t)| = Δn(t) = tn - tn+1 на отрезке . Имеем = nt n-1 - (n+1)t n , =0, если t = 0 или t = ,
= = = .
Δn(0) = 0, Δn(1) =0.
Значит (по правилу нахождения наибольшего значения функции на отрезке),
ρC(xn,a) = 0 = 0,
а потому xn сходится к a в C[0;1].
Пример 3 xn = , a = (0,0,0,…), X = l3.
Решение.
ρ3(xn , a) = при n .
Так как ρ3(xn , a) не стремится к нулю, то xn не сходится к a в l3.
Пример 4 xn = , a = (0,0,0,…), X = l2.
Решение.
ρ2(xn , a) = при n .
Значит, xn сходится к a в l2.
Пример 5 xn= n , a = , X=L1[0;1] .
Решение.
(xn , a) = = dt = .
Применим теорему Беппо Леви о предельном переходе под знаком интеграла. Обозначим fn(t) = . Функция fn(t) является интегрируемой на [0;1] для любого , и 0 f1(x) ≤ f2(x) ≤ … ≤ fn(t) ≤ … . Кроме того, . Значит, по теореме Б. Леви
(xn , a) = dt = 0.
Следовательно, xn сходится к a в L1[0;1].
Пример 6 xn (t)= , a(t) = t , X = L1[0;1] .
Решение.
(xn , a) = dt = = dt =
= = = =
при (мы воспользовались тем, что при ). Значит, xn сходится к a в L1[0;1].
Задача 2 Является ли данное условие: а) необходимым, б) достаточным,
в) необходимым и достаточным для сходимости последовательности xn
в метрическом пространстве X ?
Пример 1 X = CL[a;b] – пространство непрерывных функций с метрикой
ρL(x , y) = dt. Условие: последовательность xn(t) поточечно
сходится к непрерывной функции a(t).
Решение. Не нарушая общности, можем считать, что a=0, b=1. Покажем, что условие не является ни необходимым, ни достаточным. Для выяснения достаточности условия рассмотрим следующую последовательность xn, заданную на [0;1] графически:
Последовательность xn сходится к a 0 поточечно на [0;1] (почему?), но
ρL(xn , а) = dt = dt = = 1,
то есть ρL(xn , a) не стремится к нулю. Значит, данное условие не является достаточным для сходимости последовательности xn в метрическом пространстве CL[a;b].
Теперь допустим, что xn a в CL[0;1], то есть dt 0 при . Покажем на примере, что отсюда не следует поточечная сходимость xn к a. Рассмотрим последовательность xn(t) = tn и функцию a(t) 0. Имеем
ρL(xn , а) = dt = = 0 при .
Значит, xn a=0 в CL[0;1]. Но tn не сходится к a= 0 поточечно, так как tn 1 при t = 1. Значит, данное условие не является необходимым для сходимости последовательности xn в метрическом пространстве CL[a;b].
.
Пример 2 X = l2. Условие: = 0, где .
Решение. Положим . Тогда данное условие означает, что при . Докажем, что это условие является достаточным для сходимости последовательности xn к а в пространстве l2. Поскольку при выполнении этого условия <1 при достаточно больших n, то при этих n и при всех k имеем . Поэтому при этих n и при всех k. Значит, ρ2(xn , a)2 , а
это значит, что ρ2(xn , a) 0. Следовательно, xn a в l2. Достаточность доказана.
Теперь покажем, что условие не является необходимым. Рассмотрим последовательность xn = и точку a = из l2. Имеем ρ2(xn , a) = 0 ( ) как остаток сходящегося ряда. Значит, xn a в l2 . Но в этом примере (сравните с гармоническим рядом), а потому данное условие не выполняется.
Задача 3 Найти предел последовательности xn в метрическом пространстве X, если он
существует.
Пример 1 X = l1, xn = .
Решение.1 способ. Допустим, xn сходится к некоторому a в l1. Так как для любого k справедливо неравенство ρ1(xn , a) , то имеем и покоординатную сходимость xn к a. Но покоординатно xn сходится к последовательности , которая не принадлежит пространству l1 (ряд расходится по необходимому признаку). Мы пришли к противоречию. Значит, xn не сходится в l1.
2 способ. Так как ρ1(xn , xn+1) = 1 при , последовательность xn не является фундаментальной. Следовательно, xn не сходится в l1.
Пример 2 X = , xn = .
Решение. 1 способ. Допустим, xn сходится к некоторому a в . Так как (xn , a) для любого k, то имеем покоординатную сходимость xn к a. Но покоординатно xn сходится к последовательности
а= , для которой (xn , a) = 1 (почему?) при . Следовательно, xn не сходится к a в , - противоречие.
2 способ. Заметим, что последовательность xn не является фундаментальной в . Действительно, xn+1 = , ρ(xn , xn+1) = 1 при . Так как xn не фундаментальна в , то она не сходится в .
Задания лабораторной работы
Задача 1 Проверить, сходится ли заданная последовательность xn точек метрического
пространства X к точке a, если выполнены следующие условия.
а)
№ |
X |
xn |
a |
1.1.1 |
C[0;2] |
|
t |
1.1.2 |
C[0;5] |
|
1 |
1.1.3 |
C[-3;3] |
|
| t | |
1.1.4 |
C[0;8] |
|
t |
1.1.5 |
C[0;1] |
|
t |
1.1.6 |
C[1;2] |
|
|
б)
№ |
X |
xn |
a |
1.2.1 |
|
|
|
1.2.2 |
|
|
|
1.2.3 |
|
|
|
1.2.4 |
|
|
|
1.2.5 |
|
|
|
1.2.6 |
|
|
|
в)
№ |
X |
xn |
a |
1.3.1 |
L2[0;2] |
|
0 |
1.3.2 |
L4[0;3] |
|
2t |
1.3.3 |
[-1;2] |
|
sin t |
1.3.4 |
L1[0;1] |
|
0 |
1.3.5 |
[-2;0] |
|
2t2 |
1.3.6 |
L2[0;3] |
|
t3 |
Задача 2 Является ли данное условие: а) необходимым, б) достаточным,
в) необходимым и достаточным для сходимости последовательности xn
в метрическом пространстве X ?
№ |
X |
Условие |
2.1 |
C[a;b] |
t [a;b] существует предел числовой последовательности xn(t) |
2.2 |
|
k N существует предел числовой последовательности xn(k) |
2.3 |
|
= 0, где a= |
2.4 |
|
k N существует предел числовой последовательности xn(k) |
2.5 |
|
= 0, где a= |
2.6 |
|
= 0, где a= |
Задача 3 Найти предел последовательности xn в метрическом пространстве X, если он
существует.
№ |
X |
xn |
3.1 |
|
|
3.2 |
|
|
3.3 |
|
|
3.4 |
|
|
3.5 |
|
|
3.6 |
|
|