- •Лекции на тему «Аналитическая геометрия»
- •Раздел III. Основы аналитической геометрии
- •Глава 4. Прямя и плоскость
- •4.1. Прямая на плоскости
- •4.1.1. Способы задания прямой на плоскости
- •1 Способ: уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
- •2 Способ: уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.
- •3 Способ: уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом k.
- •4 Способ: уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
- •Исследование общего уравнения прямой
- •Угол между двумя прямыми на плоскости
- •Расстояние от точки до прямой на плоскости
- •4.2. Плоскость и прямая в пространстве
- •4.2.1. Способы задания плоскости
- •1 Способ: уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
- •2 Способ: уравнение плоскости в координатной форме.
- •3 Способ: уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •4.2.2. Взаимное расположение плоскостей
- •4.2.3. Угол между двумя плоскостями
- •4.2.4. Способы задания прямой в пространстве
- •1 Способ: уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.
- •2 Способ: уравнение прямой, заданной пересечением двух плоскостей.
- •4.2.5. Взаимное расположение прямых в пространстве
- •4.2.6. Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Фокусы, эксцентриситет, директрисы и фокальный параметр эллипса
- •1. Определение полярных координат.
- •3. Примеры уравнений линий в полярных координатах.
- •Полярные координаты в пространстве
- •Общий метод координат
- •Цилиндрические поверхности
- •Задания для самостоятельного решения
Лекции на тему «Аналитическая геометрия»
Раздел III. Основы аналитической геометрии
Глава 4. Прямя и плоскость
4.1. Прямая на плоскости
4.1.1. Способы задания прямой на плоскости
1 Способ: уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
Дано. Точка , L – прямая на плоскости. Вектор . Всякий ненулевой вектор перпендикулярный прямой называется нормальным вектором.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору имеет вид:
(4.1),
преобразовав которое, получаем общее уравнение прямой:
(4.2),
где А, В, С – постоянные коэффициенты, причем , ,
Если , то уравнение (4.2) преобразуется к виду или
(4.3) – уравнение прямой в отрезках.
а – отрезок, который отсекает прямая на оси ОХ, b – соответственно на ОУ.
Пример 4.1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (2; – 3) перпендикулярно к вектору . Найти отрезки отсекаемые прямой на координатных осях.
Пример 4.2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (2; –1), если эта прямая отсекает от положительной полуоси Оу отрезок, вдвое больший, чем на положительной полуоси Ох.
2 Способ: уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.
Дано. Точка , L – прямая на плоскости. Вектор .
Всякий ненулевой вектор параллельный прямой (или лежащий на этой прямой) называется направляющим вектором.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору можно записать в форме:
(4.4) – параметрическое уравнение прямой, где t – переменная, которая может принимать любые действительные значения и называется параметром.
Если , то, исключая параметр t из уравнения (4), получим
(4.5) – каноническое уравнение прямой.
Пример 4.3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (– 4; 2) параллельно вектору , где А (– 2; 1), В (3; 5).
Замечание.
– прямая // оси ОХ.
– прямая // оси ОУ.
3 Способ: уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом k.
Д ано. Точка , L – прямая на плоскости. k=tg (угловой коэффициент прямой), где – угол наклона прямой к положительному направлению оси ОХ.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом k имеет вид:
(4.6).
Из (4.6), обозначая , получим
(4.7) – уравнение прямой с угловым коэффициентом.
В частности, если угол =0, то и угловой коэффициент k = 0; если , то k=tg – не существует ( при ).
Пример 4.4. Составим уравнение прямой, проходящей через точку А (3;–2) под углом 135° к оси Ох.
4 Способ: уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Даны две точки М1 ( ), М2 ( ) принадлежащие прямой L.
Уравнение прямой L, проходящей через две данные точки имеет вид:
(4.8).
Пример 4.5. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А (–5; 4) и B (3; –2).
Решение. По уравнению (4.8):
или , 8∙(у – 4) = –6∙(х + 5),
откуда после преобразований получим: .