- •Элементы математической логики.
- •Множества.
- •Множество действительных чисел.
- •Числовая последовательность.
- •Число .
- •2. (Достаточность). Фундаментальная последовательность сходится (имеет конечный предел).
- •Функции.
- •Непрерывность функции.
- •Вопросы к коллоквиуму по математическому анализу (1 семестр)
Конспект лекций для подготовки к коллоквиуму (МП-16,17,17а,18,19)
Элементы математической логики.
Основное понятие – высказывание. Высказывание – предложение, сформулированное средствами некоторого языка, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно.
1) девять делится на три без остатка;
2) 5>4;
3) 8 – простое число;
4) ;
5) Да здравствует математика!
Высказываниями являются три первых предложения. Пятое предложение не является высказыванием. Четвертое предложение – предикат. Предикат – предложение, содержащее переменную величину, переходящее в высказывание при конкретном значении этой величины. Например, припишем слева к «квантор» всеобщности («для любого», «для каждого», «для всех» ) или квантор существования ( «найдется», «существует» ).
- ложь.
- истина.
Знак истинности у ложного высказывания «0», знак истинности у истинного высказывания «1».
Над высказываниями можно проводить логические операции, результатом которых является новое высказывание. Результаты операций представлены в таблице истинности:
A |
B |
А «и» В
|
А «или» В
|
«Не» А
|
Из А «следует» В
|
А «тождественно» В
|
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
0 0 0 1 |
0 1 1 1 |
1 1 0 0 |
1 1 0 1 |
1 0 0 1 |
Два высказывания, имеющие одинаковые переменные, называются тождественными, если их таблицы истинности совпадают.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Множества.
Множество – совокупность некоторых объектов определенной природы. Объекты, образующие множество, называются его элементами.
- элемент принадлежит множеству .
- элемент не принадлежит множеству .
Задать множество можно перечислением его элементов ; с помощью некоторой процедуры ; при помощи описания свойств элементов, входящих в множество, .
- множество является подмножеством , т. е. каждый элемент множества является элементом множества .
- пустое множество. Множество, состоящее из элементов, содержит с учетом пустого подмножества подмножеств.
- равные множества.
- множество, элементы которого являются элементами множества или множества или элементами обоих множеств (объединение множеств).
- множество, элементы которого являются элементами множества и одновременно элементами множества (пересечение множеств).
- множество, элементы которого являются элементами множества , не принадлежащие множеству (разность множеств).
Множества и называются эквивалентными, если между элементами множеств можно установить взаимно однозначное соответствие. Конечные множества эквивалентны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое количество элементов.
В случае бесконечного множества эквивалентными могут быть все множество и его подмножество. Например, с помощью процедуры мы можем установить взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством четных натуральных чисел, т. е. установить их эквивалентность.
Счетное множество – множество, эквивалентное множеству натуральных чисел. Можно показать, что счетным множеством является множество рациональных чисел. Множество иррациональных чисел не является счетным.