20.2. Непозиционные системы счисления. Древнеегипетская десятичная система.
20.3. Непозиционные системы счисления. Римская система.
21. Позиционные системы счисления. Примеры.
Позиционная система – это система счисления, в которой количественное значение цифры зависит от ее положения в числе.
Основание позиционной системы счисления – это количество знаков, используемых для записи чисел (количество знаков в алфавите).
Примеры.
1.Десятичная система, основание 10, алфавит – арабские цифры от 0 до 9, число записывается в виде суммы числового ряда степеней числа 10, в качестве коэффициентов выступают цифры числа.
2.Двоичная система, основание 2, алфавит {0, 1}, число записывается в виде суммы числового ряда степеней числа 2, в качестве коэффициентов выступают цифры числа.
3.Восьмеричная система, основание 8, алфавит {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, число записывается в виде суммы числового ряда степеней числа 8, в качестве коэффициентов выступают цифры числа.
4.Шестнадцатеричная система, основание 16, алфавит {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D. E, F}, число записывается в виде суммы числового ряда степеней числа 16, в качестве коэффициентов выступают цифры
числа. |
13 |
22. Развернутая форма записи числа в позиционной системе счисления.
Позиционная система – это система счисления, в которой количественное значение цифры зависит от ее положения в числе.
Любое число N в позиционной системе счисления можно представить в следующей форме, которая называется развернутой формой записи
, где p – основание системы счисления; - цифры алфавита данной системы счисления; k – количество разрядов в целой части числа; m – количество разрядов в дробной части числа.
Свернутой формой записи числа в позиционной системе счисления называется запись числа в виде .
Примеры развернутой формы записи чисел в позиционной системе счисления: см. примеры 1 – 4 следующего слайда.
14
23. Примеры чисел различных позиционных систем счисления. Основание системы счисления.
Позиционная система – это система счисления, в которой количественное значение цифры зависит от ее положения в числе.
Основание позиционной системы счисления – это количество знаков, используемых для записи чисел (количество знаков в алфавите).
Примеры.
1.Десятичная система, основание 10, алфавит – арабские цифры от 0 до 9, число записывается в виде суммы числового ряда степеней основания, в качестве коэффициентов выступают цифры числа: .
2.Двоичная система, основание 2, алфавит {0, 1}: .
3.Восьмеричная система, основание 8, алфавит {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}:
.
4. Шестнадцатеричная система, основание 16, алфавит {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D. E, F}: .
15
24. Перевод чисел из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы счисления в десятичную систему счисления.
Для перевода числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы счисления в десятичную систему счисления надо записать это число в развернутой форме и вычислить его значение в десятичной системе счисления.
Примеры.
1.Перевод из двоичной системы в десятичную:
2.Перевод из восьмеричной системы в десятичную:
.
3. Перевод из шестнадцатеричной системы в десятичную: .
16
25.1. Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную (восьмеричную, шестнадцатеричную) систему счисления.
Перевод чисел из позиционной системы с произвольным основанием р в систему с основанием q производится по следующему алгоритму:
1.Целая часть числа и дробная часть числа переводятся отдельно.
2.Целую часть числа с основанием p разделить на q. Остаток от деления даст младший разряд целой части искомого числа.
3.Если частное от деления больше или равно q, то разделить его на q. Остаток от деления даст следующий разряд целой части искомого числа.
4.Повторять шаг 3 до тех пор, пока частное будет больше или равно q.
5.Последнее полученное частное даст старший разряд искомого числа.
6.Дробную часть числа с основанием p умножить на q. Целая часть произведения даст старший разряд дробной части искомого числа.
7.Если дробная часть произведения больше 0, то умножить ее на q. Целая часть произведения даст следующий разряд дробной части искомого числа.
8.Повторять шаг 7 до тех пор, пока дробная часть произведения будет
больше 0. |
17 |
25.2. Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную (восьмеричную, шестнадцатеричную) систему счисления.
Пример 1. Перевести десятичное число 11,25 в двоичную систему.
1.Целая часть 11, дробная часть 0,25.
2.Делим 11 на 2, получаем 5 и 1 в остатке – это младший разряд.
3.Делим 5 на 2, получаем 2 и 1 в остатке – это следующий разряд.
4.Делим 2 на 2, получаем 1 и 0 в остатке – это следующий разряд.
5.Полученное частное 1 < 2, поэтому это старший разряд целой части. Искомая целая часть равна 1011.
6.Умножаем 0,25 на 2, получаем 0,5, старший разряд равен 0.
7.Умножаем 0,5 на 2, получаем 1, следующий разряд равен 1.
8.Дробная часть последнего произведения равна 0, поэтому дробная часть искомого числа 0,01 и искомое число 1011,01.
18
25.3. Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную (восьмеричную, шестнадцатеричную) систему счисления.
Пример 2. Перевести десятичное число 375,15625 в восьмеричную систему.
1.Целая часть 375 дробная часть 0,15625.
2.Делим 375 на 8, получаем 46 и 7 в остатке – это младший разряд.
3.Делим 46 на 8, получаем 5 и 6 в остатке – это следующий разряд.
4.Полученное частное 5 < 8, поэтому это старший разряд целой части. Искомая целая часть равна 567.
6.Умножаем 0,15625 на 8, получаем 1,25, старший разряд равен 1.
7.Умножаем 0,25 на 8, получаем 2, следующий разряд равен 2.
8.Дробная часть последнего произведения равна 0, поэтому дробная часть искомого числа 0,12 и искомое число 567,12.
19
25.4. Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную (восьмеричную, шестнадцатеричную) систему счисления.
Пример 3. Перевести десятичное число 4348,1015625 в шестнадцатеричную систему.
1.Целая часть 4348 дробная часть 0,1015625.
2.Делим 4348 на 16, получаем 271 и 12 = в остатке – это младший разряд.
3. Делим 271 на 16, получаем 16 и 15 = в остатке – это следующий разряд.
4.Делим 16 на 16, получаем 1 и 0 в остатке – это следующий разряд.
5.Полученное частное 1 < 16, поэтому это старший разряд целой части. Искомая целая часть равна .
6.Умножаем 0,1015625 на 16, получаем 1,625, старший разряд равен 1.
7.Умножаем 0,625 на 16, получаем 10, следующий разряд равен .
8.Дробная часть последнего произведения равна 0, поэтому дробная
часть искомого числа и искомое число . |
20 |