8. Свойства отношений:

рефлексивность – отношение равенства, подобия треугольников, отношение нестрогого порядка (<=, >=);

антирефлексивность – отношение строгого порядка (>, <), отношение перпендикулярности;

симметричность – отношение равенства, параллельности;

антисимметричность – отношение строгого порядка;

транзитивность – отношение строгого порядка (a < b < c, a > b > c);

антитранзитивность – отношение перпендикулярности.

9. Функциональное отношение - это такое бинарное отношение между двумя множествами, при котором каждому элементу первого множества может соответствовать не больше одного элемента второго множества.

Если отношение функционально, то произвольному   может не соответствовать ни один, либо соответствовать в точности один   . (какой бы Х не брать всегда для него найдется только один Y)

Если функциональное отношение полно слева, то оно называется (полной) функцией.

Бинарное отношение между двумя множествами называется полным слева, если каждому элементу первого множества соответствует хотя бы один элемент второго множества.

Если функциональное отношение не полно слева, то оно называется частичной функцией.

10. Инъекция - это функция, которая переводит разные элементы в разные образы.

Функция иньективная когда для разных аргументов функция принимает разные значения. (разный Х соответствует разному У)

Сюръекция - это такое отображение, что каждый элемент области значений имеет хотя бы один прообраз. (Бинарное отношение называется полным справа (или сюръективным), если каждому элементу из второго множества соответствует хотя бы один элемент из первого.)

Функция сюрьективная если каждому Y соответсвует хотя бы один X

Биекция - это взаимно однозначное отображение одного множество в другое.

Функция биективная если если она инъективна и сюръективна.

11. Бинарное отношение  на множестве  называется отношением эквивалентности, если оно обладает следующими свойствами:

• Рефлексивность: .

• Симметричность:  если , то .

• Транзитивность:  если  и , то .

Отношение эквивалентности обозначают символом . Запись вида  читают как " эквивалентно "

12. Классом эквивалентности {\displaystyle [a]\subset X}  элемента {\displaystyle a}a называется подмножество элементов, эквивалентных {\displaystyle a}a; то есть,

Из вышеприведённого определения немедленно следует, что если .

Система непустых подмножеств  множества  называется разбиением данного множества, если:

• 

•  при .

Множества  называются классами данного разбиения.

Если на множестве M задано отношение эквивалентности , то оно порождает разбиение этого множества на классы эквивалентности такое, что: любые два элемента одного класса находятся в отношении  любые два элемента разных классов не находятся в отношении

Семейство всех классов эквивалентности множества образует фактормножество и обозначаемое .