18. Биномиальные коэффициенты. Основные тождества.

Число n называется верхним индексом, а k — нижним. В соответствии с комбинаторной интерпретацией, числа n и k должны быть целыми неотрицательными.

Смысл: Выясним, сколько раз встречается многочлен при данном . Он встретится столько раз, сколькими способами можно выбрать скобок, из которых берется , т.е. .

22. Бином Ньютона — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

22. Граф. Основные понятия.

Граф - это совокупность непустого множества объектов - вершин и связей между ними. Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи - как дуги, или рёбра.

Неориентированный граф - это упорядоченная пара (V, E), где

V - это непустое множество вершин

E - это множество неупорядоченных пар вершин, называемых рёбрами.

Ориентированный граф (сокращённо орграф) — это упорядоченная пара (V, A), где

V — это непустое множество вершин или узлов,

A — это множество упорядоченных пар различных вершин, называемых дугами или ориентированными рёбрами.

Два ребра называются кратными, если они связуют одни и те же вершины.

Ребро называется петлей, если его концы совпадают.

Мультиграф – граф, у которого все ребра кратные.

Псевдограф – граф с петлями.

Простой граф – граф без кратных ребер и петель.

Пустой граф – граф без ребер. Ноль-граф – граф без вершин.

Два ребра называются смежными, если они имеют общую вершину.

Любое ребро инцидентно двум вершинам, которые оно соединяет, и эти вершины инциденты этому ребру.

Степенью вершины называют количество инцидентных ей рёбер (при этом петли считают дважды).

Вершина называется изолированной, если она не является концом ни для одного ребра; висячей, если она является концом только одного ребра.

Операции над графами:

 Объединением    графов      и       называется граф , множество вершин которого есть объединение множеств вершин графов  и , а множество ребер является объединением множеств ребер  этих графов .

        Пересечением графов  и  называется граф , множество вершин которого , а множество ребер .

      Кольцевой суммой графов  и  называется граф , порожденный на множестве ребер, присутствующих либо в , либо в , но не принадлежащих их пересечению 

Порядок графа - это число вершин в графе, |V|.

Размер графа - это число его рёбер, |E|

Концевые вершины графа - это вершины, соединяющие данное множество ребер.

Две концевые вершины одного и того же ребра называются соседними.

Дуга — это упорядоченная пара вершин (v, w), где вершину v называют началом, а w — концом дуги.

Смешанный - это граф, в котором некоторые рёбра могут быть ориентированными, а некоторые - неориентированными. Записывается упорядоченной тройкой (V, E, A).

Изоморфный граф - это некоторый граф G, для которого существует биекция f из множества вершин графа G в множество вершин другого графа H, которому он изоморфен, обладающая следующим свойством: если в графе G есть ребро из вершины A в вершину B, то в графе H должно быть ребро из вершины f(A) в вершину f(B) и наоборот - если в графе H есть ребро из вершины A в вершину B, то в графе G должно быть ребро из вершины f^{-1}(A) в вершину f^{-1}(B). В случае ориентированного графа эта биекция также должна сохранять ориентацию ребра. В случае взвешенного графа биекция также должна сохранять вес ребра.

Элементарный путь - это простой путь в графе, вершины в котором не повторяются.

Петля - это элементарный цикл.

Компонента графа, связная компонента графа - это всякий максимальный связный подграф графа. Слово "максимальный" означает максимальный относительно включения, то есть не содержащийся в связном подграфе с большим числом элементов.

Мост - это ребро графа, удаление которого увеличивает число компонент графа, такое ребро не содержится ни в одном цикле.

Связный граф - это граф, в котором между любыми двумя вершинами есть маршрут.

Сильно связный, ориентированно связный граф - это ориентированный граф, в котором из любой вершины в любую другую имеется ориентированный путь.

Дерево - это связный граф, не содержащий простых циклов.

Полный граф - это граф, в котором любые его две вершины соединены ребром.

Двудольный граф - это граф, в котором вершины можно разбить на два непересекающихся подмножества V₁ и V₂ так, что всякое ребро соединяет вершину из V₁ с вершиной из V₂.

k-дольный граф - это граф, в котором вершины можно разбить на k непересекающихся подмножества V_1, V_2, :, V_k так, что не будет рёбер, соединяющих вершины одного и того же подмножества.

Полный двудольный граф - это граф, в котором каждая вершина одного подмножества соединена ребром с каждой вершиной другого подмножества.

Планарный граф -  граф, который может быть изображён на плоскости без пересечения рёбер. 

Взвешенный граф - это граф, в котором каждому ребру поставлено в соответствие некоторое число, называемое весом ребра.

22. Маршрут в графе — это чередующаяся последовательность вершин и рёбер {\displaystyle v_{0},e_{1},v_{1},e_{2},v_{2},...,e_{k},v_{k}} v0,e1,v1,e2, v2…, e_n, v_n, в которой любые два соседних элемента инцидентны. Если {\displaystyle v_{0}=v_{k}} v0 = v_n, то маршрут замкнут, иначе открыт.

Число n называется длиной маршрута.

Цепь - маршрут, в котором все ребра различны

Цикл - замкнутый маршрут, являющийся цепью.

Простая цепь - маршрут, в котором все вершины различны.

Простой цикл - цикл, в котором все вершины, кроме первой и последней, различны.

Две вершины называются связными, если существует маршрут между ними.

Компонента связности — некоторое подмножество вершин графа, такое, что для любых двух вершин из этого множества существует путь из одной в другую, и не существует пути из вершины этого множества в вершину не из этого множества.

Связный граф - это граф, в котором между любыми двумя вершинами есть маршрут.

22. Дерево – связный граф без циклов.

Лес – граф, все компоненты связности которого являются деревьями.

Граф полный, если каждые две его вершины соединены только одним ребром.

Граф плоский (планарный), если его можно изобразить на плоскости так, что все пересечения его ребер являются вершинами графа.

Двудольный граф — граф, множество вершин которого можно разбить на две части таким образом, что каждое ребро графа соединяет какую-то вершину из одной части с какой-то вершиной другой части, то есть не существует ребра, соединяющего две вершины из одной и той же части.

Однородный граф — граф, у которого степени всех вершин равны между собой; степень его вершин называется степенью регулярного графа. Все полные графы регулярны; регулярны также графы платоновых тел. 

22. Два графа называются изоморфными, если существует взаимно-однозначное соответствие (биекция) между их ребрами и вершинами, причем ребра соединяют соответствующие вершины.

Изоморфизм графов означает, что можно так переобозначить вершины первого графа, что в новых обозначениях вершины и ребра будут совпадать со вторым графом.

Самодополнительный граф — это граф, изоморфный своему дополнению.

22. Общая постановка экстремальной задачи на графе. Примеры экстремальных задач.

Дан граф G = (V, E), |V| = n, в котором ребра взвешены числами e ∈ E -> w (e) > 0.

Также указаны условия и свойства, которые должен удовлетворять дополнительный частичный граф x = (V_x, E_x), V_x ⊂ V, E_x ⊂ E. Обычно допустимое решение X определяет решение задачи.

Примеры: задача об остовном дереве, нахождение кратчайшего пути, задача коммивояжера.

22. Задача об остовном дереве: Дан связный, неориентированный граф с весами на ребрах.

Задача состоит в нахождении такого связного ациклического подграфа T ⊂ G, содержащего все вершины, что суммарный вес его ребер будет минимален.

Так как T связен и не содержит циклов, он является деревом и называется остовным. Остовное дерево T, у которого суммарный вес его ребер w(T) = ∑_(u,v)∈T w(u,v) минимален, называется минимальным остовным.

Алгоритм Краскала

Вначале текущее множество рёбер устанавливается пустым. Выбирается ребро минимального веса и добавляется к уже имеющемуся множеству, если её добавление не вызовет появление цикла. Когда таких рёбер больше нет, алгоритм завершён.

Алгоритм Прима.

Сначала берется произвольная вершина и выбирается ребро, инцидентное данной вершине и с наименьшим весом. Найденное ребро и соединяемые им две вершины образуют дерево. Затем, рассматриваются ребра графа, один конец которых — уже принадлежащая дереву вершина, а другой — нет; из этих рёбер выбирается ребро наименьшей стоимости, которое не образует цикл. Выбираемое на каждом шаге ребро присоединяется к дереву. Рост дерева происходит до тех пор, пока не будут исчерпаны все вершины исходного графа.

29. Алгоритм Дейкстры

1. Первой вершине присваивается метка 0, а остальным вершинам - метка бесконечности.

2. Выбираем вершину V, которая имеет минимальную метку

3. рассматриваем все вершины смежные вершине V

4. Каждой из рассмотренных вершин назначаем метку равную сумме метки V и длины пути из V в рассматриваемую вершину, но только в том случае, если полученная сумма будет меньше предыдущего значения метки. Если же сумма будет больше, то оставляем предыдущую метку без изменений

5. После того как таким образом рассмотрели все вершины, смежные с V, вершину V отмечаем как посещённую, и выбираем из не посещенных вершину с минимальным значение метки, она и будет следующей вершиной V. Если есть несколько вершин с одинаковыми метками, то не имеет значения какую из них мы выбрать.

6. Повтор пунктов 3-5, пока текущей вершиной не окажется конечная, в итоге получим путь, и его длина будет весом текущей вершины.

30. Гамильтоновы циклы и контуры. Необходимые и достаточные условия существования гамильтонова цикла в графе. Алгоритм «иди в ближайший».

 Гамильтонов граф – граф, который содержит гамильтонов цикл.

Гамильтонов контур – контур (замкнутый путь в орграфе), проходящий через каждую вершину по одному разу.

Гамильтонов цикл - такой цикл, который проходит через каждую вершину данного графа по одному разу.

Необходимое условие: Неориентированный граф содержит гамильтонов цикл тогда, когда в нём не существует ни одной вершины со степенью < 2.

Неориентированный граф содержит гамильтонов цикл тогда, когда в нем все вершины со степенями > 2.

Условие Дирака: если степень каждой вершины не меньше, чем половина к-ва вершин в графе, то граф называется графом Дирака. Граф Дирака — гамильтонов.

Условие Оре: если в графе степени любых двух несмежных вершин не меньше числа всех вершин в графе, то граф называется графом Оре. Граф Оре — гамильтонов.

Алгоритм «иди в ближайший»

1. Выбор произвольной вершины

2. Последовательно включаем остальные вершины причем каждый раз выбирая ближайшую к последней выбранной и еще не включенную в маршрут

3. Алгоритм закончит работу на шаге, когда уже будет построена гамильтонова цепь. Остается замкнуть ее в цикл.