- •Практические занятия по предмету “Теории вероятностей и математическая статистика” 2-курс, направление математика, (рус.Гр.)
- •2.2 Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Решение типовых примеров:
- •Задания для закрепления:
- •Решение типовых примеров:
- •Задания для закрепления:
- •Решение типовых примеров:
- •Решение типовых примеров:
- •Задания для закрепления:
- •Решение типовых примеров:
- •Задания для закрепления:
- •Пусть требуется изучить множество объектов относительно некоторого качественного или количественного признака.
- •Решение типовых примеров:
- •Гистограмма частот
- •Задания для закрепления:
- •Построить гистограмму частот.
- •Структура денежных доходов и удельный вес расходов в денежных доходах населения (в процентах к денежным доходам) по годам
- •Точечные оценки
- •Решение типовых примеров:
- •Задания для закрепления:
- •Решение типовых примеров:
- •Решение типовых примеров:
- •Задания для закрепления:
- •Решение типовых примеров:
- •Задания для закрепления:
- •Критерия согласия Пирсона
- •Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности
- •Решение типовых примеров:
- •Задания для закрепления:
- •Решение типовых примеров:
- •Задания для закрепления:
Построить гистограмму частот.
10. По данным приведенной ниже таблицы постройте полигоны частот распределения:
-
оплаты труда;
-
социальных трансфертов;
-
доходов от собственности и предпринимательской деятельности;
-
расходов на покупку товаров и услуг;
-
расходов на оплату обязательных платежей и взносов;
-
накопления сбережений во вкладах и ценных бумагах.
Структура денежных доходов и удельный вес расходов в денежных доходах населения (в процентах к денежным доходам) по годам
Денежные доходы |
1980 |
1990 |
1991 |
1992 |
1993 |
1994 |
1995 |
Всего в том числе:
|
100
77,4 15,7
6,9 |
100
74,1 13,0
12,9 |
100
59,7 15,5
24,8 |
100
69,9 14,0
16,1 |
100
58,0 17,2
24,8 |
100
46,4 17,4
36,2 |
100
39,3 16,7
44,0 |
Денежные расходы |
1980 |
1990 |
1991 |
1992 |
1993 |
1994 |
1995 |
Всего в том числе:
|
99,1
84,3
12,1
2,7 -
|
95,0
75,3
12,2
7,5 - |
90,2
62,3
8,3
19,6 - |
86,4
72,9
8,2
4,8 0,5 |
90,7
68,9
7,6
6,2 8,0 |
95,5
64,5
6,8
6,5 17,7
|
96,5
70,5
6,7
5,0 14,3 |
12-Занятие. Эмпирические функции распределение. Эмпирические показатели и вычисление их
Эмпирической функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значения х относительную частоту
,
где - число вариант, меньших х; n - объем выборки. В отличии от эмпирической функции распределения выборки, функцию распределения F(x) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Эмпирическая функция распределения служит для оценки теоретической функции распределения.
Свойства эмпирической функции распределения:
-
Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0;1].
-
- неубывающая функция.
-
Если х1 - наименьшая варианта, то при ; если хk - наибольшая варианта, то при .
Для графического изображения статистического распределения используются полигоны и гистограммы.
Пример 2. Построить эмпирическую функцию для выборки, заданной следующим статистическим рядом .
Решение: Найдем объем выборки : n = 12+18+30 = 60. Наименьшая варианта равна x1 = 2, следовательно, при .
Значение х<6, а именно x1 = 2 наблюдалось 12 раз, следовательно при . Значение х<10, а именно x1 = 2 и х2 = 6 наблюдалось 12+18 раз, следовательно, при . Так как x3 = 10 наибольшая варианта, то при .
И так, искомая эмпирическая функция
F*(x)
1
0.5
0.2
2
6
10
-
Найти эмпирическую функцию распределения для выборки, представленной статистическим рядом:
а) хi 1 4 6 б) хi 2 5 7 8
; ;
ni 10 15 25 ni 1 3 2 4
в) хi 4 7 8
.
ni 5 2 3
Ответ: а) б)
в)
13-Занятие. Статистические оценки. Точечные оценки и их свойства
Пусть требуется изучить количественный признак генеральной
совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет признак. Естественно, возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение. Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные наблюдений, т.е. - выборка.
Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин (т.е. выборки). Несмещенной называют статистическую оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки. Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру. Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию. При рассмотрении выборок большого объема к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности. Состоятельной называют статическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру.
Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.