Частина 3

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Визначення. Крива rr(t) = ϕ(t)i + ψ(t) j + γ(t)k ( a ≤ t ≤ b ) називається

безперервною кусочно – гладкою, якщо функціїϕ, ψ і γ безперервні на відрізку [а,b] і відрізок [а,b] можна розбити на кінцеве число часткових відрізань так, що на кожному з них функції, ψ і γ мають безперервні похідні, не рівні нулю одночасно.

Якщо визначено не тільки розбиття кривої на часткові відрізки крапками, але порядок цих крапок, то крива називається ориентированнной кривої.

Орієтірованная крива називається замкнутою, якщо значення рівняння кривої в початковій і кінцевій точках співпадають.

r (a) = r (b)

Розглянемо в пространсве XYZ криву АВ, в кожній точці якої визначена довільна функція f (x, y, z) .

Розіб'ємо криву на кінцеве число відрізань і розглянемо твір значення функції в кожній точці розбиття на довжину відповідного відрізання.

f (xi , yi , zi )∆si

Склавши всі отримані таким чином твори, отримаємо так звану

интегральнуюсумму функції f(x, у, z).

n

∑ f (xi , yi , zi )∆si

i=1

Визначення. Якщо при прагненні до нуля кроку розбиття кривої на часткові відрізки існує межа інтегральних сум, то ця межа називається криволінійним інтегралом від функції f(x, у, z) по довжині дуги АВ або криволінійним інтегралом першого роду.

∫ f (x, y, z)ds

AB

Властивості криволінійного інтеграла першого роду.

1) Значення криволінійного інтеграла по довжині дуги не залежить від напряму кривій АВ.

2)Постійний множник можна виносити за знак криволінійного інтеграла.

3)Криволінійний интерал від суми функцій рівний сумі криволінійних інтегралів від цих функцій.

4)Якщо крива АВ розбита на дуга АС і СВ, то

∫ f (x, y, z)ds = ∫ f (x, y, z)ds + ∫ f (x, y, z)ds

AB AC CB

101

“Курс вищої математики. Частина 3.”

8) Теорема про середній.

Якщо функція f(x, у, z) безперервна на кривій АВ, то на цій кривій існує крапка

(x1, y1, z1) така, що

∫ f (x, y, z)ds = f (x1 , y1 , z1 ) S

AB

Для обчислення криволінійного інтеграла по довжині дуги треба визначити його зв'язок із звичайним певним інтегралом.

Хай крива АВ задана параметрично рівняннями x = x(t), у = у(t), z = z(t)

α ≤ t≤β, де функції х, у, z – функції параметра t, що безперервно диференціюються, причому крапці А відповідає t =α, а крапці У відповідає t = β. Функція f(x, у, z) – безперервна на всій кривій АВ.

Для будь-якої точки М(х, у, z) кривої довжина дуги АМ обчислюється за формулою (Див. Вычисление длины дуги кривой.):

Довжина всієї кривої АВ рівна:

β

S = ∫ x′2 (t) + y′2 (t) + z′2 (t)dt

α

Криволінійний інтеграл по довжині дуги АВ знаходитиметься по формулі:

β

∫ f (x, y, z)ds = ∫ f (x(t), y(t), z(t)) x′2 (t) + y′2 (t) + z′2 (t)dt

AB α

Таким чином, для обчислення криволінійного інтеграла першого роду (по довжині дуги АВ) треба, використовуючи параметричне рівняння кривої виразити подынтегральную функцію через параметр t, замінити ds диференціалом дуги залежно від параметра t і проінтегрувати отриманий вираз по t.

Приклад. Обчислити інтеграл ∫(x2 + y 2 + z 2 )ds по одному витку гвинтової лінії

=2 2π 1+ 4π2 .

3

102

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Якщо інтеграція проводиться по довжині плоскої кривої, заданої рівнянням y = ϕ(x), a ≤ x ≤ b, те отримуємо:

Криволінійні інтеграли другого роду.

Хай АВ – безперервна крива в просторі XYZ (або на площині Хоy), а точка P(x, у, z) – довільна функція, визначена на цій кривій. Розіб'ємо криву крапками M (xi , yi , zi ) на кінцеве число часткових дуг. І розглянемо суму творів значень функції

в кожній крапці на довжину відповідної часткової дуги.

n

∑P(α,β, γ)∆xi ; M (α,β, γ) ∆xi

i=1

Визначення. Якщо при прагненні до нуля кроку розбиття кривої АВ інтегральні суми мають кінцеву межу, то ця межа називається криволінійним інтегралом по

змінній х від функції P(x, у, z) по кривій АВ в напрямі від А до В.

Криволінійний інтеграл другого роду, тобто інтеграл по координатах відрізняється від криволінійного інтеграла першого роду, тобто по довжині дуги тим, що значення функції при складанні інтегральної суми умножається не на довжину часткової дуги, а на її проекцію на соответствующюю вісь. (У розглянутому вище випадку – на вісь ОХ).

Взагалі кажучи, криволінійні інтеграли можуть вважатися також і по змінним у і z.

103

5) Криволінійний інтеграл по замкнутій кривій L не залежить від вибору початкової точки, а залежить тільки від напряму обходу кривій.

∫P(x, y, z)dx +Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz

L

Напрям обходу контура L задається додатково. Якщо L – замкнута крива без точок самопересечения, то напрям обходу контура проти годинникової стрілки називається позитивним.

6) Якщо АВ – крива, лежача в площині, перпендикулярній осі ОХ, то

∫P(x, y, z)dx = 0.

AB

Аналогічні співвідношення справедливі при інтеграції по змінним у і z.

Теорема. Якщо крива АВ – кусочногладка, а функції P(x, у, z), Q(x, у, z) і R(x, у, z) – безперервні на кривій АВ, то криволінійні інтеграли

∫P(x, y, z)dx +Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz

AB

існують.

Обчислення криволінійних інтегралів другого роду проводиться шляхом перетворення їх до певних інтегралів по формулах:

У випадку, якщо АВ – плоска крива, задана рівнянням у = f(x), то

104

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Приклад. Обчислити криволінійний інтеграл ∫x2 ydx + x3dy . L – контур,

L

обмежений параболами y2 = x; x2 = y . Напрям обходу контура позитивний.

Формула Остроградського – Гріна.

(Остроградський Михайло Васильович (1861-1862) – російський математик академік Петерб. А.Н.)

(Джордж Грін (1793 – 1841) – англійський математик)

Іноді цю формулу називають формулою Гріна, проте, Дж. Грін запропонував в 1828 році тільки окремий випадок формули.

Формула Остроградського – Гріна встановлює зв'язок між криволінійним інтегралом і подвійним інтегралом, тобто дає вираз інтеграла по замкнутому контуру через подвійний інтеграл по області, обмеженій цим контуром.

Вважатимемо, що дана область односвязная, тобто в ній немає виключених ділянок.

у

у= y2(x) D

A

C

B

y= y1(x)

105

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Якщо замкнутий контур має вигляд, показаний на малюнку, то криволінійний інтеграл по контуру L можна записати у вигляді:

∫P(x, y)dx = ∫ + ∫ + ∫ + ∫

Якщо ділянки АВ і CD контура прийняти за довільні криві, то, провівши аналогічні перетворення, отримаємо формулу для контура довільної форми:

Ця формула називається формулою Остроградського – Гріна.

Формула Остроградського – Гріна справедлива і у разі багатозв'язкової області, тобто області, усередині якої є виключені ділянки. В цьому випадку права частина формули буде сумою інтегралів по зовнішньому контуру області і інтегралів по контурах всіх виключених ділянок, причому кожен з цих контурів інтегрується в такому напрямі, щоб область ∆ весь час залишалася ліворуч лінії обходу.

Приклад. Вирішимо приклад, розглянутий вище, скориставшись формулою Остроградського – Гріна.

Формула Остроградського – Гріна дозволяє значно спростити обчислення криволінійного інтеграла.

Криволінійний інтеграл не залежить від форми шляху, якщо він уздовж всіх шляхів, що сполучають початкову і кінцеву точку, має одну і ту ж величину.

Умовою незалежності криволінійного інтеграла від форми шляху рівносильно рівності нулю цього інтеграла по будь-якому замкнутому контуру, що містить початкову і кінцеву точки.

Ця умова виконуватиметься, якщо подынтегральное вираз є повним диференціалом деякої функції, тобто виконується умова тотальності.

∂∂Py = ∂∂Qx

106

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Поверхневі інтеграли першого роду.

z

∆Si

0

у

∆

x

Поверхневий інтеграл є таким же узагальненням подвійного інтеграла, яким криволінійний інтеграл є по відношенню до певного інтеграла.

Розглянемо поверхню в просторі, яка довільно розбита на n частин.

Розглянемо твір значення деякої функції F в довільній крапці з координатами

(α,β, γ) на площу часткової ділянки Si, що містить цю крапку.

F(α,β, γ)∆Si

Визначення. Якщо при прагненні до нуля кроку розбиття λ поверхні існує

5)ЯкщоF1 (x, y, z) ≤ F2 (x, y, z) , то

∫∫F1 (x, y, z)dS ≤ ∫∫F2 (x, y, z)dS

S S

7) Теорема про середній.

Якщо функція F(x, у, z) безперервна в будь-якій точці поверхні S, то існує крапка (α,β, γ) така, що

107

“Курс вищої математики. Частина 3.”

∫∫F(x, y, z)dS = F(α,β, γ) S

S

S – площа поверхні.

Провівши міркування, аналогічні тим, які використовувалися при знаходженні криволінійного інтеграла, отримаємо формулу для обчислення поверхневого інтеграла першого роду через подвійний інтеграл по за площею проекції поверхні на площину

XOY.

Якщо на поверхні S є хоч би одна крапка і що не хоч би один перетинає межу поверхні контур, при обході по якому напрям нормалі в крапці міняється на протилежний, то така поверхня називається односторонньою.

Якщо за цих умов напрям нормалі не міняється, то поверхня називається

двосторонньою.

Вважатимемо позитивним напрямом обходу контура L, що належить поверхні, такий напрям, при русі по якому по вибраній стороні поверхні сама поверхня залишається зліва.

Двостороння поверхня зі встановленим позитивним напрямом обходу називається орієнтованою поверхнею.

Розглянемо в просторі XYZ обмежену двосторонню поверхню S, що складається з кінцевого числа шматків, кожен з яких заданий або рівнянням виду z = f(x, у), або є циліндровою поверхнею із створюючими, паралельними осі OZ.

Визначення. Якщо при прагненні до нуля кроку розбиття поверхні S інтегральні суми, складені як суми творів значень деякої функції на площу часткової поверхні, мають кінцеву межу, то ця межа називається поверхневим інтегралом другого роду.

∫∫P(x, y, z)dydz +Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy

S

- поверхневий інтеграл другого роду.

Властивості поверхневого інтеграла другого роду аналогічні вже розглянутим нами властивостям поверхневого інтеграла першого роду.

Тобто будь-який поверхневий інтеграл другого роду міняє знак при зміні сторони поверхні, постійний множник можна виносити за знак інтеграла, поверхневий інтеграл від суми два і функцій рівніший сумі поверхневих інтегралів від цих функцій, якщо поверхня розбита на кінцеве число часткових поверхонь, інтеграл по всій поверхні рівний сумі інтегралів по часткових поверхнях.

108

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Якщо S- циліндрова поверхня із створюючими, паралельними осі OZ, то ∫∫R(x, y, z)dxdy = 0 . У випадку, якщо створюючі поверхні паралельні осям OX і OY, то

S

рівні нулю відповідні складові поверхневого інтеграла другого роду.

Обчислення поверхневого інтеграла другого роду зводиться до обчислення відповідних подвійних інтегралів. Розглянемо це на прикладі.

Приклад. Обчислити інтеграл ∫∫(z − R)2 dxdy по верхній стороні півсфери

S

x2 + y2 + z 2 = 2Rz, R ≤ z ≤ 2R.

Перетворимо рівняння поверхні до вигляду: x2 + y2 + (z − R)2 − R2 = 0 z = R + R2 − x2 − y 2

10

8

4

0

-4

-2

-2

0

2

-4

4

Задана поверхня проектується на площину XOY в круг, рівняння якого: x2 + y2 ≤ R2

∫∫(z − R)2 dxdy = ∫∫(R2 − x2 − y2 )dxdy

S ∆

Для обчислення подвійного інтеграла перейдемо до полярних координат: (Див. Двойной интеграл в полярных координатах.)

Зв'язок поверхневих інтегралів першого і другого роду.

Поверхневі інтеграли першого і другого роду зв'язані один з одним співвідношенням:

∫∫Pdydz +Qdzdx + Rdxdy = ∫∫(P cos α +Q cosβ+ R cos γ)dS

S S

У цій формулі cosα, cosβ, cos γ- направляючі косинуси нормалі до поверхні S у вибрану сторону поверхні.

109

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Формула Гауса – Остроградського.

Формула Гауса – Остроградського є аналогом формули Гріна – Остроградського. Ця формула зв'язує поверхневий інтеграл другого роду по замкнутій поверхні з потрійним інтегралом по просторовій області, обмеженій цією поверхнею.

Для виведення формули Гауса – Остроградського треба скористатися міркуваннями, подібними тим, які використовувалися при знаходженні формули Гріна,

– Остроградського.

Розглядається спочатку поверхня, обмежена зверху і знизу деякими поверхнями, заданими відомими рівняннями, а збоку обмежену циліндровою поверхнею. Потім розглядається варіант коли поверхня обмежена циліндровою поверхнею із створюючими, паралельними дум доугим координатним осям.

Після цього отримані результати узагальнюються, приводячи до формули Гауса

– Остроградського:

Відзначимо, що ця формула застосовна для обчислення поверхневих інтегралів по замкнутій поверхні.

На практиці формулу Гауса – Остроградського можна застосовувати для обчислення об'єму тіл, якщо відома поверхня, що обмежує це тіло.

Тієют місце формули:

V = ∫∫xdydz = ∫∫ydxdz = ∫∫zdxdy = ∫∫∫dxdydz

S S S V

Приклад. Знайти формулу обчислення об'єму кулі.

У поперечних перетинах кулі (перетини паралельні площині XOY) виходять

кола.

Рівняння кулі має вигляд: x2 + y2 + z 2 = R2 . Знайти об'єм кулі можна по формулі:

Для вирішення цього ж завдання можна скористатися перетворенням інтеграла до сферичних координат. (Див. Сферическая система координат.) Це значно спростить інтеграцію.

110