Частина 3

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Теорія стійкості вирішень диференціальних рівнянь є одним з розділів якісної теорії диференціальних рівнянь, яка присвячена не знаходженню якого – або вирішення рівняння, а вивченню характеру поведінки цього рішення при зміні початкових умов або аргументу.

Цей метод особливо важливий, оскільки дозволяє робити вивід про характер рішення без безпосереднього знаходження цього рішення. Тобто навіть в тих випадках, коли вирішення диференціального рівняння взагалі не може бути знайдене аналітично.

Хай є деяке явище, описане системою диференціальних рівнянь:

і початкові умови: yi (t0 ) = yi0 .

Для конкретного явища початкові умови визначаються досвідченим шляхом і тому неточні.

Теорема. (про безперервну залежність рішення від початкових умов)

Якщо права частина диференціального рівняння безперервна і по змінній у має обмежену приватну похідну (f y′ ≤ N ) на області прямокутника, обмеженого, то

рішення

y(t) = y(t,t0 , y0 ) що задовольняє початковим умовам, безперервно залежить від початкових даних, тобто для будь-якого, при якому якщо

y0 − y0 < 0, то y(t,t0 , y0 ) − y(t,t0 y0 ) < ε за умови, що

Ця теорема справедлива як для одного диференціального рівняння, так і для системи рівнянь.

Визначення. Якщо ϕ(t) = {ϕ1 (t),ϕ2 (t),...,ϕn (t)} - вирішення системи

диференціальних рівнянь, то це рішення називається стійким по Ляпунову, якщо для будь-якогоε > 0 ∆ > 0 , таке, що для будь-якого вирішення y(t) = {y1 (t), y2 (t),..., yn (t)} тієї ж системи, початкові умови якого задовольняють нерівностям

(Ляпунов Олександр Михайлович (1857 – 1918) академік Петерб. АН)

Тобто можна сказати, що рішення (t) ϕстійке по Ляпунову, якщо близькі до

звести до дослідження на стійкість рівного нулю рішення деякій іншої системи, яка отримана з даною заміною невідомих функцій:

51

Система (2) має тривіальне (рівне нулю) рішення xi (t) = 0.

Теорема. Вирішення ϕ(t) = {ϕ1 (t),ϕ2 (t),...,ϕn (t)} системи (1) стійке по Ляпунову

тоді і тільки тоді, коли стійко по Ляпунову тривіальне вирішення системи (2).

Це тривіальне рішення називається положенням рівноваги або точкою спокою.

що має тривіальне рішення yi (t) = 0 .

Хай існує функція, що диференціюється, задовольняє умовам:

1)v( y1 ,..., yn ) ≥0 і v = 0 тільки при у1 = у2 = . = уn =0, тобто функція v має мінімум на початку координат.

2)Повна похідна функції v уздовж фазової траєкторії (тобто уздовж вирішення yi(t) системи (1)) задовольняє умові:

Функція v називається функцією Ляпунова.

Класифікація точок спокою.

Розглянемо систему двох лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами

dxdt = a11 x + a12 y

dy = a21 x + a22 ydt

Характеристичне рівняння цієї системи має вигляд:

52

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Розглянемо наступні можливі випадки:

1) Коріння характеристичного рівняння дійсне, негативне і різне.

λ1 < 0, λ2 < 0, λ1 ≠ λ2 .

Точка спокою x = y ≡ 0 буде стійка. Така точка спокою називається стійким вузлом.

2) Коріння характеристичного рівняння дійсне і

λ1 = 0, λ2 < 0 або λ1 = λ2 < 0 .

В цьому випадку точка спокою також буде стійка.

3) Хоч би один з коріння λ1 ,λ2 позитивний.

В цьому випадку точка спокою x = y ≡ 0 нестійка, і таку крапку називають нестійким сідлом.

4) Обидва корені характеристичного рівняння позитивні λ1 > 0, λ2 > 0 .

В цьому випадку точка спокою x = y ≡ 0 нестійка, і таку крапку називають нестійким вузлом.

α α

Стійкий вузол. Нестійкий вузол. Сідло.

5) Коріння характеристичного рівняння комплексне λ1 = p +iq, λ2 = p −iq .

Якщо р = 0, тобто коріння чисто уявне, то точка спокою (0, 0) стійка по Ляпунову. Така точка спокою називається центром.

Якщо p< 0, то точка спокою стійка і називається стійким фокусом. Якщо p > 0, то точка спокою нестійка і називається нестійким фокусом.

Рівняння математичної фізики.

Рівняння в приватних похідних.

53

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Визначення. Диференціальним рівнянням в приватних похідних називається рівняння щодо невідомої функції декілька змінних, її аргументів і її приватних похідних різних порядків.

Порядком диференціального рівняння в приватних похідних називається порядок старшої похідної, що входить в це рівняння. Вирішенням рівняння буде деяка функціяu = u(x1 , x2 ,..., xn ) , яка обертає рівняння в тотожність.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння в приватних похідних першого порядку.

Диференціальне рівняння в приватних похідних першого порядку від функції u = u(x1 , x2 ,..., xn ) можна в загальному вигляді записати як

Лінійне рівняння в приватних похідних має вигляд:

де Xi – деякі задані функції.

Очевидно, що одним з вирішень такого рівняння буде функція u = C.

u = ϕ(x1 , x2 ,..., xn ) - вирішення рівняння (1).

54

“Курс вищої математики. Частина 3.”

На довільний елемент довжини нитки (х, х + ∆х) діють дві сили натягнення AD і BC . При цьому:

Якщо вважати коливання малими, то можна прийняти: tgα ≈ sin α

Тоді проекція сили BC на вісь u:

Вираз, що стоїть в правій частині рівності отримано в результаті застосування теореми Лагранжа ( див. Теорема Лагранжа ) до виразу, що стоїть зліва.

Твір маси на прискорення даного елементу струни рівний:

ρ∆x ∂2u(x,t) ,

∂t 2

де ρ - щільність струни.

Прирівнюючи отриманий вираз до значення проекції сили, отримаємо:

Для повного визначення руху струни отриманого рівняння недостатньо. Функція u(x, t) повинна ще задовольняти граничним умовам, що описують перебування струни на кінцях (в точках x = а і x = b) і початковим умовам, що описують стан струни у момент часу t = 0.

Сукупність граничних і початкових умов називається краєвими умовами. Таким чином, завдання Коші полягає в знаходженні вирішення лінійного

диференціального рівняння з приватними похідними другого порядку за початкових умов

і краєвих умовах

u(0,t) = u(l,t) = 0 .

56

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Початкові умови показують, в якому положенні знаходиться струна в початковий момент часу і швидкість кожної її крапки в початковий момент часу.

Функції f(x) і F(x) задані.

Краєві умови показують, що кінці струни закріплені в крапках а = 0, b = l

Рішення задачі Коші методом розділення змінних. (Метод Фурье.)

Всі вирішення початкового диференціального рівняння, що задовольняють граничним умовам, можна записати у вигляді:

Остаточне вирішення рівняння коливань струни можна записати у вигляді:

У випадку якщо довжина струни дуже велика, то на коливання, струни, що виникають в середині, кінці струни впливу практично не надають. Тому, розглядаючи коливання нескінченної струни, рівняння

57

“Курс вищої математики. Частина 3.”

u(x,0) = f (x)

ut′(x,0) = F (x)

Для знаходження рішення введемо нові змінні:

Вирішенням цього рівняння буде функціяu = ϕ(α) + ψ(β) , де ϕ і ψ - деякі функції, які вважатимемо такими, що двічі диференціюються.

Отримуємо: u(x,t) = ϕ(x − at) + ψ(x + at).

Якщо продиференціювати отриману відповідь, отримаємо: u′x = ϕ′(x − at) + ψ′(x + at)

ut′ = −aϕ′(x − at) + aψ′(x + at) u′xx′ = ϕ′′(x − at) + ψ′′(x + at) utt′′ = a2 ϕ′′(x − at) + a2 ψ′′(x + at)

Тобто a 2u′xx′ = utt′′ .

Далі з використанням початкових умов знаходимо функції ϕ і ψ.

ϕ(x) + ψ(x) = f (x)

− aϕ′(x) + aψ′(x) = F(x)

Проінтегрував останню рівність на відрізку [0, x], отримуємо:

Ця формула називається формулою Даламбера.

Рівняння теплопровідності.

Температуру фізичного тіла в довільній крапці з координатами (x, у, z) у момент часу t можна представити у вигляді функції:

u = u(x, y, z)

58

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Складемо диференціальне рівняння:

Тоді складене нами диференціальне рівняння приймає вигляд:

∂dtu = a2 ∆u

і називається рівнянням теплопровідності в просторі.

Як окремі випадки розглядають:

У разі розгляду рівняння теплопровідності в стрижні шукана функція u(x, t) повинна задовольняти записаному вище диференціальному рівнянню, початковій умові u(x,0) = f (x) 0 ≤ x ≤ πі граничним умовам u(0,t) = u(π,t) = 0, t ≥ 0 .

В результаті вирішення диференціального рівняння методом Фурье отримаємо:

Відзначимо, що розповсюдження тепла в тілі називається стаціонарним, якщо функція u не залежить від часу t.

Рівняння Лапласа.

Визначення. Функція u(x, y, z) називається гармонійною на областіσ, якщо

вона має безперервні приватні похідні другого порядку на області σ і задовольняє умові

Якщо на деякій межі Г тіла підтримувати постійну температуруuГ = f (x, y, z) ,

де f – задана функція, то усередині тіла встановиться єдина постійна температура. З фізичної точки зору це твердження очевидне, проте, даний факт може бути доведений математично.

Математичний доказ цього факту називається завданням Дирихле. (Петер Густав Дирихле (1805 – 1859) – німецький математик)

Рішення задачі Дирихле для круга.

59

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Хай в площині XOY є круг радіусу R з центром на початку координат і на його колі задана функція f(ϕ), де ϕ - полярний кут.

Потрібно знайти функціюu(r,ϕ) , яка задовольняє рівнянню Лапласа

Таким чином, маємо два рівняння:

Φ′′(ϕ) + k 2Φ(ϕ) = 0

r 2 R′′(r) + rR′(r) − k 2 R(r) = 0

Загальне вирішення першого рівняння має вигляд: Φ = Acos kϕ + B sin kϕ

Вирішення другого рівняння шукаємо у вигляді: R = r m . При підстановці отримаємо: r 2 m(m −1)r m−2 + rmr m−1 − k 2 r m = 0

m2 − k 2 = 0

Загальне вирішення другого рівняння має вигляд: R = Cr k + Dr −k . Підставляючи отримані рішення в рівнянняu = Φ(ϕ)R(r) , отримаємо:

uk = (Ak cos kϕ + Bk sin kϕ)(Ck r k + Dk r −k )

Ця функція буде вирішенням рівняння Лапласа при будь-якому до ≠ 0.

Якщо до = 0, то Φ′′ = 0; rR′′+ R′ = 0 отже u0 = (A0 + B0ϕ)(C0 + D0 ln r) . Рішення повинне бути періодичним, оскільки одне і те ж значення повторюватиметься через 2π. (Тоді розглядається одна і та ж точка круга.) Тому В0 = 0.

Рішення повинне бути кінцевим і безперервним, тому D0 = 0.

Остаточно отримуємо:

При цьому:

1 π

Bn = πRn −π∫ f (t)sin ntdt

Якщо підставити ці коефіцієнти в отриману вище формулу і провести спрощення, отримуємо остаточний результат рішення задачі Дирихле, який називається

інтегралом Пуассона.

(Сімеон Подіни Пуассон (1781 – 1840) – французького математика)

60