Частина 3
.pdf
“Курс вищої математики. Частина 3.”
Елементи теорії поля.
Визначення. Якщо кожній точці простору М ставиться у відповідність деяка скалярна величина U, то таким чином задається скалярне поле U(M). Якщо кожній
простори М ставиться в соотвтствие векторF , то задається векторне поле Fr (М).
Хай в просторі М задана поверхня ∆. Вважатимемо, що в кожній точці Р визначається позитивний напрям нормалі одиничним вектором n(P) .
У просторі М задамо векторне поле, постовив у відповідність кожній крапці
точці простору вектор, визначений координатами:
F = P(x, y, z)ir + Q(x, y, z) rj + R(x, y, z)k
Якщо розбити яким – або образом поверхня на часткові ділянки ∆i і скласти суму∑(F(Pi )nr(Pi ))∆i , де Frnr - скалярний твір, то межа цієї суми при прагненні до
i
нуля площ часткових ділянок розбиття (якщо ця межа існує) буде поверхневим
інтегралом.
∫∫Fnrd∆
∆
Визначення. Поверхневий інтеграл ∫∫Fnrd∆ називається потоком векторного
поля Fr через поверхню ∆. ∆
Якщо поверхня розбита на кінцеве число часткових поверхонь, то потік векторного поля через всю поверхню буде рівний сумі потоків через часткові поверхні.
Якщо перетворити скалярний твір в координатну форму, то отримуємо
співвідношення: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫Fnd∆ = ∫∫[P cos α +Q cosβ+ R cos γ]d∆ = ∫∫Pdydz +Qdzdx + Rdxdy |
|||||||||||
∆ |
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
Якщо на області ∆ існує функція f(x, у, z), |
|
що має безперервні приватні похідні, |
|||||||||
для яких виконуються властивості: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f = P; |
∂f |
= Q; |
|
∂f |
= R; |
|
||||
|
∂x |
∂y |
|
|
|
∂z |
|
|
|
||
то таку функцію називають потенційною функцією або потенціалом вектора Fr . |
|||||||||||
Тоді вектор Fr |
є градієнтом функції f. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
r |
= |
∂f |
|
r |
∂f |
|
r |
+ |
∂f |
r |
|
F = gradf |
∂x |
i + |
∂y |
j |
∂z |
k |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Потенціал може бути знайдений по формулі:
x |
y |
z |
f (x, y, z) = ∫P(x, y0 , z0 )dx + ∫Q(x, y, z0 )dy + ∫R(x, y, z)dz |
||
x0 |
y0 |
z0 |
У цій формулі x0, y0, z0 – координати деякої початкової точки. Як така крапка зручно брати початок координат.
111
“Курс вищої математики. Частина 3.”
Теорема. Для того, щоб поле вектора, заданого в деякій області, мало потенціал, необхідно і достатньо, щоб виконувалася одна з двох умов:
1)Інтеграл від вектора F по будь-якому кусочно – гладкому контуру, що належить області, рівний нулю.
2)Інтеграл по будь-якому кусочно – гладкому шляху, що сполучає дві будь-які точки поля не залежить, від шляху інтеграції.
Формула Стоксу.
(Джордж Габрієль Стокс (1819 – 1903) – англійський математик)
Формула Стоксу пов'язує криволінійні інтеграли другого роду з поверхневими інтегралами другого роду.
Хай в просторі задана деяка поверхня S. L – безперервний кусочно – гладкий контур поверхні S.
z S
L
у
∆ 
l x
Припустимо, що функції P,Q і R безперервні на поверхні S разом зі своїми приватними похідними першого порядку. Застосуємо формулу, що виражає криволінійний інтеграл через визначений.
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
′ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫P(x, y, z)dx +Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = ∫[P(x(t), y(t), z(t))x (t) +Q(x(t), y(t), z(t))y (t) + |
|||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
∂z ′ |
|
|
|
||
|
′ |
|
∫ |
′ |
|
′ |
|
|
′ |
|
|
||||||
+ R(x(t), y(t), z(t))z (t)]dt = |
|
|
|
|
|
|
|
x (t) + |
|
|
|
|
= |
||||
|
[Px (t) +Qy (t) + R |
∂x |
∂y |
y (t) ]dt |
|||||||||||||
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
β |
∂z |
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
∂z |
|
|
= ∫ P + R |
x′(t) |
+ Q + R |
y′(t) dt = |
∫ P + R |
dx + Q + R |
|
dy |
||||||||||
α |
∂x |
|
|
∂y |
|
|
L |
|
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
||
Введемо позначення: |
p = |
∂z |
; q = |
|
∂z |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Застосувавши формулу Гріна – Остроградського, можна замінити криволінійний інтеграл рівним йому подвійним інтегралом. Після перетворень встановлюється следуюшее відповідність між криволінійним і поверхневим інтегралом:
112
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“Курс вищої математики. Частина 3.” |
|||||||||||||||||||||
∫ |
Pdx + Qdy + |
Rdz = |
∫∫ |
|
∂R |
− |
∂Q |
∂P |
− |
∂R |
|
|
|
|
|
|
|
∂Q |
− |
∂P |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dydz + |
|
|
dzdx + |
|
|
|
|
dxdy |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
S |
∂y |
|
∂z |
|
∂z |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ця формула і називається формула Стоксу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Визначення. ВекторBr , компоненти якого рівні відповідно рівні |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
B |
x |
= |
∂R |
− |
|
∂Q |
|
; |
B |
y |
= |
∂P |
− |
∂R |
; |
|
B |
z |
= |
|
∂Q |
− |
|
∂P |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
∂x |
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
називається вихором або ротором вектора F = Pi + Qj + Rk і позначається: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rotF |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Визначення. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
∂ |
|
|
∂ |
|
|
∂ |
|
|
r |
∂ |
r |
∂ |
r |
∂ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Символічний |
|
|
вектор |
= |
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
= i |
|
|
+ j |
|
+ k |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
∂x |
∂y |
∂z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
називається оператором Гамільтона. ( Уїльям Роуан Гамільтон (1805 – 1865) – ірландський математик) Символ - “набла”.
З урахуванням цього позначення можна уявити собі поняття ротора вектора F як векторного твору оператора Гамільтона на вектор F .
r |
r r |
|
ir |
|
rj |
|
k |
|
|
|
|
|
|||||
|
∂ |
|
∂ |
|
∂ |
|
||
rotF |
= × F |
= |
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
P |
|
Q |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Визначення. Криволінійний інтеграл, що є роботою векторного поля уздовж
деякої кривої L називається лінійним інтегралом від вектора Fr по орієнтованій кривій L.
∫Frdsr = ∫Pdx +Qdy + Rdz
L L
Якщо крива L є замкнутим контуром, то лінійний інтеграл по такому контуру називається циркуляцією вектроного поля F уздовж контура L.
Ц = ∫Fdsr = ∫Pdx +Qdy + Rdz
LL
Увекторній формі теорему Стоксу можна сформулювати так:
Циркуляція вектора уздовж контура деякої поверхні рівна потоку вихривши (ротора) через цю поверхню.
∫Fdsr = ∫∫nrrotFd∆
λ∆
Відзначимо, що розглянута вище формула Гріна – Остроградського є окремим випадком формули Стоксу.
113
“Курс вищої математики. Частина 3.”
Також за умови рівності нулю всіх компонент ротора вектора, отримуємо, що криволінійний інтеграл по будь-якій просторовій кривій рівний нулю, тобто криволінійний інтеграл не залежить від шляху інтеграції.
Визначення. Вираз |
∂P |
+ |
|
∂Q |
+ |
∂R |
називається дивергенцією вектора |
∂x |
|
∂y |
∂z |
||||
|
|
|
|
|
|||
(дивергенцією векторної функції) |
F = Pi + Qj + Rk і позначається |
||||||
divFr = ∂∂Px + ∂∂Qy + ∂∂Rz
Таким чином, формулу Гауса – Остроградського може бути записана у вигляді:
∫∫ |
(P cos α + Q cosβ + R cos γ)dS = |
|
|
∂P |
+ ∂Q |
+ ∂R |
|
|
|
dxdydz |
|||||
|
∫∫∫ |
∂x |
∂y |
∂z |
|
||
S |
|
V |
|
|
|||
або
∫∫∫divFdv = ∫∫FnrdS
V S
тобто інтеграл від дивергенції векторного поля F за об'ємом рівний потоку вектора через поверхню, обмежену цим об'ємом.
div Fr =0Визначення. . Векторне поле F називається соленоїдом (трубчастим), якщо
C допомогою описаного вище оператора Гамільтона можна представити визначені нами поняття таким чином:
gradf = f ; divF = F; rotF = × F;
Як було сказано вище (Див. Уравнение Лапласа.), вираз
∆ = |
∂2 |
+ |
∂2 |
+ |
∂2 |
|
∂x2 |
∂y2 |
∂z 2 |
||||
|
|
|
називається оператором Лапласа.
Справедливі наступні співвідношення:
div(gradf ) = ∆f ; |
f = ∆f |
|
|
Справедливість цієї рівності легко перевірити безпосередньою підстановкою. Тепер розглянемо приклади застосування розглянутих вище понять.
Приклад. Знайтиrot(rr ar) rr, якщо rr = xi + yj + zk ; ar = i + j + k.
Знайдемо скалярний твір: rr a = x + y + z; Знайдемо скалярний твір:
114
“Курс вищої математики. Частина 3.”
(rr ar) rr ={P,Q, R} ={x2 + xy + xz, yx + y2 + yx, xz + yz + z 2 } |
|
|||||||||||||||||||
|
|
ir |
|
rj |
|
kr |
|
r |
∂R |
|
∂Q |
|
∂R |
|
∂P |
r |
∂Q |
|
∂P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
r r r |
|
∂ |
|
∂ |
|
∂ |
|
|
r |
|
|
|
||||||||
rot(r a) r |
= |
|
|
|
|
|
|
= i |
|
− |
|
− j |
|
− |
|
+ k |
|
− |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
∂x ∂y ∂z |
|
|
∂y |
|
|
|
∂x |
|
∂z |
|
∂x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
∂y |
|
||||||||||
|
|
P |
|
Q |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= i (z − y) − j (z − x) + k ( y − x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Приклад. Знайти потік векторного поля |
F = ( y − x)i + (x + y) j + yk через |
|||||||||||||||||||
сторону трикутника S, вирізаного з площини |
x + y + z −1 = 0 |
координатними |
||||||||||||||||||
площинами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z
x = 1 – z |
z = 1 - у |
x |
|
у = 1 - x |
|
у |
|
r |
r |
1 |
1−y |
П = ∫∫F |
nds = ∫∫( y − x)dydz + (x + y)dxdz + ydxdy = ∫dy ∫( y + y + z −1)dz + |
||
S |
S |
0 |
0 |
1
= ∫
0
|
1 |
|
1−z |
|
|
|
|
1 |
|
1−x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
1−y |
|
1 |
|
|
|
|
1−z |
|
|
1 |
|
|
y |
2 |
|
1−x |
|
|
||||||||||||
+ ∫dz ∫(x +1− z − x)dx + ∫dx ∫ydy = ∫ |
2yz |
+ |
|
|
|
− z |
|
|
+ ∫[x − zx] |
|
|
|
+ ∫ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
1 |
2y − 2y2 |
+ |
1 |
− y + |
y2 |
−1 |
+ y dy |
+ |
1 |
[1 |
− z − z + z 2 ]dz + |
1 |
1 |
− x |
+ |
x2 |
dx = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫ |
∫ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∫ |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3y |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
z |
3 |
1 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
x |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
y |
3 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
− |
|
+ 2y − |
dy + z − z 2 + |
|
|
+ |
|
x |
− |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
= |
− |
|
|
+ y2 − |
|
|
|
|
+1 |
−1+ |
+ |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
0 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
6 |
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||
+ 12 − 12 + 16 = − 12 +1− 12 + 63 = 12 .
Приклад. Знайти div(grad u), якщо u = ex+ y+z .
115
“Курс вищої математики. Частина 3.”
gradu = ∂∂ux ir + ∂∂uy rj + ∂∂uz kr = ex+y+z [ir + sj + kr] P = Q = R = ex+y+z ;
div(gradu) = 3ex+y+z = 3u.
Приклад. Визначити чи є векторне поле
F = (5x + 6 yz; 5y + 6xz; 5z + 6xy)
і знайти його потенціал.
gradu = ∂∂ux , ∂∂uy , ∂∂uz
P = |
∂u |
= 5x + 6yz; Q = |
∂u |
= 5y + 6xz; R = |
∂u |
= 5z + 6xy; |
|
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
|
Якщо поле потенційне, то повинні виконуватися наступні умови:
|
|
1) |
∂P |
|
= |
∂Q |
|
; 6z = 6z; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
∂y |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2) |
|
∂Q |
= |
|
|
∂R |
; 6x = 6x; |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
∂z |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
3) |
|
∂P |
|
= |
|
∂R |
|
; 6y = 6y; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
∂z |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ці умови |
еквівалентні |
|
умові |
рівності |
|
нулю |
ротора векторного |
||||||||||||||
поля.справедливость цього твердження видна з формули ротора. |
|
||||||||||||||||||||
Таким чином, поле потенційне. Потенціал знаходиться по формулі: |
|||||||||||||||||||||
x |
y |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
u = ∫5xdx + ∫5ydy + ∫(5z + 6xy)dz = |
x2 + |
y2 |
+ |
z 2 |
+ 6xyz; |
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|||
116
“Курс вищої математики. Частина 3.”
Зміст:
Геометрична інтерпретація вирішень диференціального рівняння першого порядку.
Поле напрямів. Ізоклини.
Чисельні методи вирішення диференціальних рівнянь. Метод Ейлера.
Ламана Ейлера. Уточнений метод Ейлера.
Рівняння, що не містять явно шуканої функції і її похідних до порядку n-1 включно.
Рівняння, що не містять явно незалежної змінної. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків. Лінійні однорідні диференціальні рівняння з довільними коефіцієнтами.
Структура загального рішення. Фундаментальна система рішень. Визначник Вронського.
Загальне вирішення лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку.
Лінійні однорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами.
Характеристичний многочлен і характеристичне рівняння. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з
довільними коефіцієнтами.
Метод варіації довільних постійних.
Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами.
Рівняння з правою частиною спеціального вигляду. Нормальні системи звичайних диференціальних рівнянь.
Нормальні системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами.
Лінійні однорідні диференціальні рівняння в приватних похідних першого порядку.
Рішення задачі Коші методом Даламбера. Рівняння теплопровідності.
Статечні ряди. Теореми Абеля. Радіус збіжності.
Дії із статечними рядами. Розкладання функцій в статечні ряди.
Вирішення диференціальних рівнянь за допомогою статечних рядів. Ряди Фурье.
Тригонометричний ряд. Коефіцієнти Фурье.
Достатні ознаки розкладності в ряд Фурье. Розкладання в ряд Фурье неперіодичної функції.
117
“Курс вищої математики. Частина 3.”
Ряд Фурье для парних і непарних функцій. Ряд Фурье для функцій будь-якого періоду. Ряд Фурье по ортогональній системі функцій. Інтеграл Фурье.
Перетворення Фурье.
Елементи теорії функцій комплексної змінної. Властивості функцій комплексної змінної. Основні трансцендентні функції.
Похідна функцій комплексної змінної. Умови Коші – Рімана.
Інтеграція функцій комплексного змінного. Теорема Коші.
Інтегральна формула Коші. Ряди Тейлора і Лорана. Ізольовані особливі крапки. Теорема про вирахування.
Обчислення інтегралів за допомогою вирахувань. Операційне числення.
Перетворення Лапласа. Властивості зображень.
Таблиця зображень некотрых функцій. Теорема згортки і запізнювання. Інтеграл Дюамеля.
Вирішення диференціальних рівнянь за допомогою операційного числення.
Криволінійні інтеграли.
Криволінійні інтеграли першого роду.
Властивості криволінійних інтегралів першого роду. Криволінійні інтеграли другого роду.
Властивості криволінійних інтегралів другого роду. Формула Остроградського – Гріна.
Поверхневі інтеграли першого роду.
Властивості поверхневих інтегралів першого роду. Поверхневі інтеграли другого роду.
Зв'язок поверхневих інтегралів першого і другого роду. Формула Гауса – Остроградського.
Елементи теорії поля. Потік векторного поля. Потенціал.
Формула Стоксу. Ротор.
Оператор Гамільтона. Циркуляція. Дівіргенция.
Поле соленоїда.
118