Вопрос 17. Утверждение о распределении промежутков времени и моментов времени для пуассоновского распределения.

Ответ:

Рассмотрим распределение промежутков между моментами событий в пуассоновском потоке с интенсивностью l>0. Пусть t_к – случайная величина – длина интервала времени, в течение которого процесс изменяет свое состояние с «к-2» на «к»-ое

Утверждение 1. Если {x(t)} – однородный пуассоновский процесс с интенсивностью l, то распределение промежутков времени t_к между моментами его скачков независимы и имеют одно и то же показательное распределение с функцией распределения .

Утверждение 2. Если – однородный пуассоновский процесс с интенсивностью l, то распределение моментов времени имеет распределение Эрланга

Вопрос 18. Понятие процесса чистого рождения. Теорема Феллера.

Ответ:

Простейшим обобщением пуассоновского процесса является процесс чистого рождения, если допустить зависимость вероятности осуществления события в данный момент от числа событий, которые уже произошли. Определим процесс чистого рождения как марковский процесс X(t), t≥0, удовлетворяющий постулатам:

1) P{X(t+h) – X(t) = 1/X(t) = k} = λkh + 0₁(h), h0;

2) P{X(t+h) – X(t) = 0/X(t) = k} = 1 -λkh + 0₂(h), h0;

3) P{X(t+h) – X(t) <0/X(t) = k} = 0, k≥0;

4) X (0) = 0 – число рождений в момент t = 0.

Если h>0 и n≥1, то по формуле полной вероятности, марковскому свойству и постулату 3 имеем:

P_n(t + h) =

При k = 0, 1, 2, …, n – 2 имеем:

Таким образом,

Деля на h и проведя интегрирование, получим:

Теорема Феллера. Для того, чтобы при всех значениях t решения p_k(t) уравнений чистого рождения удовлетворяли соотношению необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство. (стр. 50-51)

Вопрос 19. Процесс рождения и гибели.

Ответ:

Одно из очевидных обобщений процессов чистого рождения состоит в том, чтобы позволить процессу {x(t)} как возрастать, так и убывать, например, из-за гибели членов популяции. Таким образом, если в момент времени t процесс находится в состоянии i , он может через некоторый случайный отрезок времени перейти в любое из соседних состояний i+1 или i-1. возникающие при этом «процессы гибели и рождения» могут рассматриваться как процессы с непрерывным временем, служащие аналогами случайных блужданий.

Мы предположим, что {x(t)} является марковским процессом с состояниями 0,1,2,… и что его вероятности перехода p_ij(t) стационарны. Кроме того, предположим, что p_ij(t) удовлетворяют постулатам:

1. p_i,i+1(h)=l_ih+0(h), i³0

2. p_i,ш-1(h)=m_ih+0(h), i³1

3. p_i,i(h)=1-(l_i+m_i)h+0(h), i³0

4. p_ii(0)=d_ij

5. m₀=0, l₀>0, m_I,l_I>0, i=1,2,…

Рассуждениями, подобными тем, которые были проведены выше, можно получить систему уравнений Колмогорова, управляющей процессом гибели и размножения.

(**)

Можно доказать, что при t®¥ пределы существуют, не зависят от начального состояния i и удовлетворяют уравнениям (**), где правая часть равна нулю, т.е.

Вопрос 20. Процессы массового обслуживания. Основные понятия и классификация смо.

Ответ:

При решении многих прикладных задач исследователи сталкиваются с процессами, для которых характерна общая структура: в определенную совокупность пунктов, называемую системой обслуживания, через некоторые промежутки времени поступают объекты – входной поток, которые подвергаются там операциям и затем покидают систему – выходной поток. На практике промежутки времени, через которые поступают объекты, время их обслуживания имеют случайный характер. Т.о. процесс является случайным.

Случайные процессы, соединяющие в себе, по крайней мере, три составляющие – входной поток, систему обслуживания, выходной поток, называются процессами массового обслуживания.

К процессам можно отнести: телефон, почту, транспорт, магазины и др.

Объекты, поступающие в систему обслуживания, называются заявками или требованиями.

Входной поток заявок рассматривают как последовательность случайных событий.

При массовом поступлении объектов в системе обслуживания могут возникнуть очереди. Заявки могут выполняться в порядке поступления; с приоритетом; в порядке первого очередного поступления при освободившемся канале обслуживания.

Очереди могут ограничиваться по длине, т.е. по числу находящихся в ней заявок, и по времени обслуживания.

Т.о., основными характеристиками очереди являются время ожидания и время обслуживания.

Система обслуживания состоит из определенного числа обслуживающих единиц, называемых каналами обслуживания, и могут иметь различную организацию:

-с последовательными каналами;

-с параллельными каналами;

-с комбинированными каналами.

При занятости всех каналов обслуживания, поступающие заявки могут получить отказ или становится в очередь.

Т.о., предметом теории массового обслуживания является установление зависимостей между характером потока заявок, числом каналов обслуживания, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения эффективных путей управления этими процессами.

Задача теории массового обслуживания – установить зависимость результирующих показателей работы СМО от входных показателей.

Классификация СМО опирается на важнейшее понятие в анализе СМО – понятие состояния системы:

- если i = 0,m, то занято i каналов и очереди нет – многоканальная система обслуживания без очереди;

- если i = m,m+1, то заняты m каналов, и в очереди находится (n-m) заявок;

- если n=m, то рассматривают систему обслуживания с отказами – формирование очереди не разрешено, поэтому заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и теряется;

- если n = , то рассматривают систему обслуживания с ожиданием без ограничений на длину очереди – поступившая заявка, застав все обслуживающие приборы занятыми, становится в очередь и дожидается обслуживания.