Вопрос 22. Принципы построения моделей массового обслуживания.

Ответ:

Модели теории массового обслуживания описывают процессы массового обслуживания – процессы спроса на обслуживание с учетом случайного характера поступления заявок и продолжительности обслуживания.

Назначение моделей теории массового обслуживания состоит в том, чтобы на основе информации о входящем случайном потоке заявок предсказать возможности системы обслуживания, организовать наилучшее выполнение требований для конкретной ситуации и оценить, как это отразится на ее стоимости.

СМО возникает тогда, когда происходит массовое появление заявок на обслуживание и их последующее удовлетворение.

Особенностью СМО является случайный характер исследуемых явлений.

Основными элементами СМО являются:

1)входной поток заявок;

2)очередь заявок на обслуживание;

3)приборы обслуживания;

4)выходящий поток.

Система обслуживания считается заданной, если известны:

1)поток заявок, его характер;

2)множество обслуживающих каналов;

3)дисциплина обслуживания (совокупность правил, задающих процесс обслуживания).

Вопрос 23. Основные характеристики систем массового обслуживания с отказами. Уравнения Эрланга.

Ответ:

В системе массового обслуживания с отказами, поступившая заявка в момент, когда все каналы заняты, получает «отказ», покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует.

Основные характеристики данного типа СМО:

Абсолютная пропускная способность – среднее число заявок, которое может обслужить система за единицу времени.

Относительная пропускная способность – средняя доля поступивших заявок, обслуживаемая системой (отношение среднего числа заявок, обслуживаемых системой в единицу времени, к среднему числу поступающих за это время заявок).

Среднее число занятых каналов;

Среднее относительное время простоя системы в целом и отдельного канала.

Вероятность отказа.

Уравнение Эрланга имеет следующий вид:

Интегрирование системы уравнений при начальных условиях (в начальный момент все каналы свободны) дает зависимость для любого .

Вероятности характеризуют среднюю нагрузку в СМО и ее изменение с течением времени. В частности есть вероятность того, что заявка, пришедшая в момент , застанет все каналы занятыми ( получит отказ): ю

Зачастую в целях удобства используют величину , называемую относительной пропускной способностью системы. Для данного момента это есть отношение среднего числа обслуженных за единицу времени заявок к среднему числу поданных.

Рассмотрим - канальную СМО с отказами как физическую систему с конечным множеством состояний:

– свободны все каналы;

– занят ровно один канал;

– занято ровно каналов.

– заняты все каналов.

Определим вероятности состояний системы для любого момента времени при следующих допущениях:

1. Поток заявок – простейший, с плотностью ;

2. Время обслуживания имеет показательный закон распределения с параметром : .

Вопрос 24. Основные характеристики смо с ожиданием.

Ответ:

Пусть СМО имеет один канал обслуживания. Если заявка поступила в систему в момент занятости канала, она становится в очередь. Если поступившая заявка застала занятым канал и все m мест в очереди тоже заняты, то заявка покидает систему необслуженной. Если поток заявок в СМО простейший с интенсивностью λ и время обслуживания одной заявки распределено по показательному закону с параметром μ, то граф состояний системы является графом процесса гибели и размножения.

*Граф состояний с ограниченной очередью* (стр.68)

Состояния СМО пронумерованы следующим образом: S₀ – канал обслуживания свободен; S₁ – канал занят, то очереди нет; S₂ – канал занят, одна заявка в очереди; …; S_m+1 – канал занят, m заявок в очереди.

Обозначая показатель нагрузки системы через ρ=λ/μ, получим, что в этой системе вероятности состояний выражаются через вероятность простоя p₀ по формулам p₁=p₀ρ, p₂ = p₀ρ², …, p_m+1= p₀ρ^m+1.

Основные показатели одноканальной системы с неограниченной очередью сводятся к числам:

p₀ = 1 – ρ,

среднее число заявок в очереди

среднее число занятых каналов

среднее число заявок в системе

среднее время пребывания в системе

среднее число заявок в очереди

Среди характеристик применяют следующие:

среднее число заявок в системе обслуживания

среднее количество заявок, находящихся в системе

среднее время ожидания обслуживания

среднее время нахождения заявки в очереди

среднее время пребывания заявки в системе обслуживания