9. Изложите способ решения дифференциального уравнения, известный как метод конечных элементов.

По методу конечных элементов мы находим решение в виде разложения по базисным функциям. Мы разбиваем отрезок на n частей . Выбираем из требований:

1. – линейна на каждом интервале .

2. и , при .

Решение ищется в виде .

, , .

Составляем систему уравнений из базисных функций по формуле:

Уравнение критерия можно преобразовать, вычислив интеграл от второй производной. Воспользуемся интегрированием по частям:

Уравнение для нахождения коэффициентов -ых можно представить в виде:

10. Обоснуйте возможность аппроксимации 1-й и 2-й производных конечно-разностными отношениями.

Правая аппроксимация:

Выразим узел через .

Отсюда следует:

Левая аппроксимация:

Выразим узел через .

Отсюда следует:

Центральная аппроксимация первой производной:

Вычтем уравнения правой аппроксимации уравнение левой аппроксимации и получим уравнение для центральной аппроксимации первой производной:

Центральная аппроксимация второй производной:

Сложим уравнения правой аппроксимации уравнение левой аппроксимации и получим уравнение для центральной аппроксимации второй производной:

11. Выведите явное конечно-разностное уравнение, аппроксимирующие уравнение теплопроводности. Опишите алгоритм нахождения решения конечно-разностного уравнения.

Исходное диффуравнение заменяем на алгебраический эквивалент:

Для аппроксимирующего уравнения теплопроводности выражение примет вид:

Алгоритм нахождения решения конечно-разностных схем:

1. Преобразуем начальное уравнение к явной или неявной разностной схеме.

2. Чертим шаблон для данной схемы и определяем, на котором находим точку соответствующую необходимым условиям задачи.

3. Отмечаем точки под ней, после под ними до тех пор, пока не дойдём граничные условия.

4. Находим значения граничных условий.

5. Пошагово находим значения над ними.

12. Изложите способ построения аналитических зависимостей по дискретному набору данных, известный как метод наименьших квадратов.

1. Для искомой функциональной зависимости мы составляем сумму квадратов отклонения. Например, предположим, что искомая зависимость , тогда его сумма квадратов отклонения .

2. Дальше нужно продифференцировать эту сумму по всем постоянным, приравнять все производные к нулю и решить полученную линейную систему из уравнений относительно неивестныхзначений параметров относительно неизвестных значений.

3. После составляем систему уравнений, в которую подставляем начальные значения и решаем её. Ответом будут коэффициенты и составленное из них и переменных уравнение.

13. Раскройте понятия ачх и фчх. Выведите соотношение, позволяющее с помощью ачх и фчх рассчитывать отклик электронного устройства на любой входной сигнал.

АЧХ (амплитудно-частотная характеристика) – отношение амплитуд гармонических сигналов на выходе и на входе устройства.

ФЧХ (фазочастотная характеристика) – зависимость разности фаз между выходным и входным сигналами от частоты сигнала.

Произволный сигнал можно представить как сцумму гармонических составляющих, т.е. в виде ряда или интеграла Фурье:

Подадим на вход устройства гармонический сигнал, тогда на выходе изменится амплитуда и фаза сигнала:

, где

Тогда выражение для отклика любого сигнала на любой выходной сигнал будет следующим:

Идеальный фильтр нижних частот:

ФНЧ с прямоугольной АЧХ и линейной ФЧХ будет идеальным фильтром, неискажающим сигнал.

14. Выведите выражение для регулировочной характеристики понижающего импульсного преобразователя постоянного напряжения.

Ключ замыкается и размыкается с периодом Т, – время замкнутого состояния, а – время разомкнутого состояния

Падение напряжения на катушке :

-для замкнутого ключа

– для разомкнутого ключа

– падение напряжения на нагрузке

Проинтегрируем уравнения.

Приравняв правые части найдём :

– регулировочная характеристика.

– регулировочный коэффициент.

15. Выведите выражение для регулировочной характеристики повышающего импульсного преобразователя постоянного напряжения.

Ключ замыкается и размыкается с периодом Т, – время замкнутого состояния, а – время разомкнутого состояния.

Падение напряжения на катушке :

– для замкнутого ключа

– для разомкнутого ключа

– падение напряжения на нагрузке

Проинтегрируем уравнения.

Делим эти уравнения:

– регулировочная характеристика

– регуляторный коэффициент.

16. Выведите выражение для регулировочной характеристики инвертирующего импульсного преобразователя постоянного напряжения.

Ключ замыкается и размыкается с периодом Т, – время замкнутого состояния, а – время разомкнутого состояния.

Падение напряжения на катушке :

– для замкнутого ключа

– для разомкнутого ключа.

Проинтегрируем уравнения.

Делим эти уравнения:

– регулировочная характеристика.

– регулировочный коэффициент.

17. Изложите и обоснуйте алгоритмы интегрирования, известные как интегрирование методом Монте-Карло. Приведите примеры использования метода Монте-Карло при моделировании физических процессов.

Суть метода: строятся реализации процесса для каждого элемента статистического ансамбля. При этом расчет характеристик процесса осуществляется на основе статистической обработки данных, полученных для всего ансамбля.

Геометрический алгоритм интегрирования Монте-Карло:

1. Рассматриваем случайную величину на отрезке . Выражаем данный интеграл как , где – случайная величина на рассматриваемом отрезке.

2. На заданный отрезок вываливаем распределенных точек и для каждой вычисляем .

3. Таким образом получаем уравнение . При чем больше , тем точнее ответ.

Стохастический метод:

В отличии от первого метода, он удобен, когда функция задана неявно, а область интегрирования задана в виде сложных неравенств.

Алгоритм:

1. Ограничим функцию прямоугольником, площадью которого можно вычислить.

2. «Набросаем» в этот прямоугольник некоторое количество точек (N штук), координаты случайны.

3. Определим Число точек (K штук), которое попадут под график функции.

4. Площадь области, ограниченной функцией и осями координат: .

При , стремится к рассчитываемому интегралу.